3次元空間での2直線の交点の求め方

質問

悩んでおります．御力添えを願います．

以下の条件下にて，２つの直線式を求め，その交点を求めようとしております．

１．点ｐ（a0,b0,c0）と点q(a1,b1,c1)の座標は既知．

２．点s（d,e,f）は，座標は未知であるが，点p,点qへ向けて2つの直線を延ばしており，それぞれの直線の傾きが既知．

以上の条件をもとに，点s（d,e,f）の座標を求めようとしています．

私の考えた手法は，以下の物ですが上手くいきません.

１．点sから伸びる2つの直線の方向余弦を求める．
例）vx = r * cosα，vy = r * cosβ， vz = r * cosγ
(上記の様に２点へと伸びる直線の方向余弦をそれぞれ求める)

２.求めた方向余弦と，点p,点qを用いて２つの直線式を表す．
例）x = a0 + vx0 * t, y = b0 + vy0 * t, z = c0 + vz0 * t
x = a1 + vx1 * s, y = b1 + vy1 * s, z = c1 + vz1 * s

３．誤差を考慮し，２直線間の距離が１番小さくなる２点を求める．
例）（距離）^2 = {a0 + vx0 * t - a1 - vx1 * s}^2
= {b0 + vy0 * t - b1 - vy1 * s}^2
= {c0 + vz0 * t - c1 - vz1 * s}^2

　　上記の式をs,tに関して偏微分してやり，それぞれを０として連立　方程式を解き，s,tを求める．

　　求めたs,tを各直線式に代入してやり，２直線間の距離が最も短く　なる２点を求める．

４．その２点の線分上の中点を求め，点s（d,e,f）とする．

上記手法で求めようとしましたが，どうも点sの座標が求まりません．

点sで方向余弦を求めるのが駄目なのでしょうか？
２直線間の距離が最も短くなる２点の求め方が駄目なのでしょうか？

幾何学初心者なため，混乱しております．
宜しくお願いいたします．

回答No.2

noname#101087 · ベストアンサー

2直線の傾き s, t を勝手に与えると、交点があるとは限りませんね。
その場合は最小二乗解を求める、という作戦ですか。
ならば、一般化逆行列の手法を使えないものでしょうか ?

　http://www7.ocn.ne.jp/~kawa1/GIM.PDF
>一般逆行列

お礼

まだ悩んでおりますが、大分解に近づいてきている様に思います。

ありがとうございました。

補足

丁寧な回答ありがとうございます。

一般化逆行列ですか、ちょっと挑戦してみます。
参考資料、ありがとうございます。

また、報告させていただきます。

回答No.1

kkkk2222

α,β,γ,α',β',γ',は書きにくいので,A,B,C,A',B',C'とします。
sがダブっているので、点S（d,e,f）とします。

(cosA,cosB,cosC)が方向余弦＝直線の傾き
(cosA',cosB',cosC')が方向余弦＝直線'の傾き

直線の方程式は、
(x-a0)/cosA=(y-b0)/cosB=(z-c0)/cosC

直線'の方程式は、
(x-a1)/cosA'=(y-b1)/cosB'=(z-c1)/cosC'

２直線が、交わるならば、parameter, s,tを使用して交点は、求められます。（交わらない場合が、後述されています。）

いずれにしても、点S（d,e,f）は決定しません。

＊それとも、点S（d,e,f）が交点と言う意味ですか？
＊どうも、そのように思います。
＊ならば、交点S（d,e,f）と書かないと、意味が伝わりません。
＊されど、其の場合には最初から、交点が存在します。
？

補足

丁寧な回答ありがとうございます。

つまり、点Sで求めた方向余弦をp点、q点座標を基に表す直線の方程式に使っても大丈夫ということですね。

（交わらない場合が、後述されています。）以下は、どのような意味でしょうか？