不等式の証明

質問

数学を勉強しているのですが、聞く人がいなくて困っています。
よろしくお願いします。
(1) p>0,q>0,p+q=1のとき、関数 f(x)=x^2 について不等式
　　f(px1+qx2)≦pf(x1)+af(x2) が成り立つことを示せ。
　　※px1,qx2,x1,x2の1,2は下付きの小文字です。どの様に表記したらよいのかわかりません。すいません。

(2) a>0,b>0,a+b=1 のとき、(1)を用いて不等式
　　(a+1/a)^2+(b+1/b)^2≧25/2が成り立つことを示せ。

(1)は解けるのですが、(2)がわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.2

take_5 · ベストアンサー

1+1/abの値の範囲の求め方は次のようにしても良い。

ab＝kとすると、aとbは2次方程式：t＾2-t＋k＝0‥‥(1)の2つの正の実数解から判別式≧0、2解の積＝k＞0,2解の和＝1＞0より　0＜k≦1/4.
つまり、1/k≧4であるから、1＋1/k≧5.　即ち、{1+1/ab}＾2≧25.　
等号成立はk＝1/4であるから、(1)よりa＝b＝1/2の時。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.1

take_5

(1)より　p＝q＝1/2とすると、2*f(x1/2+x2/2)≦f(x1)+f(x2)が成立する。
f(x)＝x^2であるから、右辺＝（a+1/a）＾2＋（b+1/b）＾2　。
左辺＝2*f(x1/2+x2/2)＝（1/2）*{a+1/a+b+1/b}＾2＝（1/2）*{1+1/a＋1/b}＾2＝1/2）*{1+1/ab}＾2であるから、1+1/abの値の範囲を定めると良い。
a>0,b>0,a+b=1から相加平均・相乗平均より　a+b≧2√（ab）であるから、両辺を2乗してab≦1/4.つまり、1/ab≧4であるから、1＋1/ab≧5.
即ち、{1+1/ab}＾2≧25/2.　等号成立はa＝b＝1/2の時。
以上から、（a+1/a）＾2＋（b+1/b）＾2≧25/2。

これは、凸関数に関わる有名な性質です。
凸関数を知りたければ、“凸関数”で検索したら良い。