相加平均相乗平均に関する質問

質問

たとえば、A≧ａ、Ｂ≧ｂがわかっている場合、

辺々を掛けた式：ＡＢ≧ａｂ は必ず成立するといえますか？

ａ、ｂ＞0 の場合は必ず成立するといえると思うのですが。

よろしくお願いします。

回答No.4

info222_ · ベストアンサー

質問の内容を見ると
€>相加平均相乗平均に関する質問
の内容の質問には該当しないようですね。

・前半の質問
>A≧ａ、Ｂ≧ｂがわかっている場合、
>辺々を掛けた式：ＡＢ≧ａｂ は必ず成立するといえますか？
反例が1つでもあれば、数学的には成立するとはいえません。
（反例）A=5,a=-3, B=2,b=-9の場合
A>a, B>bですが　AB=10, ab=18なので　AB<abです。
よって、
「ＡＢ≧ａｂ は必ず成立する」とはいえません。

・後半の質問
>>A≧ａ、Ｂ≧ｂがわかっている場合、
かつ
>ａ、ｂ＞0 の場合は

「AB≧abは必ず成立するといえると思うのですが。
その通り。成立するといえます。
[証明]
A≧a>0 かつ B≧b>0なので
AB≧aB ...(1)
および
aB≧ab ...(2)
が成り立ちます。
(1) かつ '(2)が成り立つから
AB≧aB≧ab
つまり
AB≧ab ...(3)
が成り立つ。
[証明終り]

お礼

ありがとうございました。
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回答No.3

151A48

例えばＡ＝３，Ｂ＝５，ａ＝－９，ｂ＝－７など反例はいくつでもつくれます。
A>=a>0・・・(1)　B>=b>0・・・(2)なら
(1)の両辺にBをかけてAB＞＝ａＢ，(2)の両辺にａをかけてａＢ＞＝ａｂ
（不等式の両辺に正の数をかけても不等号の向きは変わらない）
よってＡＢ＞＝ａｂ

お礼

ありがとうございました。
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回答No.2

f272

A≧a≧0，B≧b≧0のときAB≧ab
A≧0≧a，B≧b≧0のときAB≧ab
0≧A≧a，B≧b≧0のときどちらともいえない
A≧a≧0，B≧0≧bのときAB≧ab
A≧0≧a，B≧0≧bのときどちらともいえない
0≧A≧a，B≧0≧bのときab≧AB
A≧a≧0，0≧B≧bのときどちらともいえない
A≧0≧a，0≧B≧bのときab≧AB
0≧A≧a，0≧B≧bのときab≧AB

お礼

ありがとうございました。
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回答No.1

trytobe

a,b>0 の場合には、必ず成立します。

なお、A≧ａ>0、Ｂ≧ｂ>0 → ＡＢ≧ａｂ は、「相加相乗平均」とは別の話です。

お礼

ありがとうございました。
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