相加相乗平均の関係

質問

a>0,b>0のとき,√ab,2ab/a+b
の大小関係はどのように調べれば良いのですか？

回答No.6

mister_moonlight

＞このような解き方でも良いのでしょうか？

良いよ。

お礼

何度も回答して下さり、有難うございます。

回答No.5

mister_moonlight

書き込みミスに、今頃気が付いた。ｗ

（誤）√ab-2ab/（a+b）＝√（ab）*{1-2√（ab）/（a+b）}＝（√a-√b）＾2/{（a+b）*√（ab）}≧0.

（正）√ab-2ab/（a+b）＝√（ab）*{1-2√（ab）/（a+b）}＝√（ab）*（√a-√b）＾2/{（a+b）}≧0.

回答No.4

mister_moonlight

普通の方法。

√ab-2ab/（a+b）＝√（ab）*{1-2√（ab）/（a+b）}＝（√a-√b）＾2/{（a+b）*√（ab）}≧0.
従って、等号は、√a-√b＝0、つまり、a＝bの時。

回答No.3

mister_moonlight

2ab/a+b とは、調和平均の事。
相加平均≧相乗平均≧調和平均、である事は良く知られている。

b/a＝tとする。b＝atで、勿論、t＞0.
√ab-（2ab）/（a+b）＝a{√t-（2t）/（t+1）}。‥‥(1)
そこで、√t＝m　（m＞0）とすると、(1)は、a{√t-（2t）/（t+1）}＝a{m-（2m＾2）/（m＾2+1）}＝a*m（m-1）＾2/（m＾2+1）≧0.
等号は、m＝1、つまり、t＝1　→　a＝b　の時。

補足

このような解き方でも良いのでしょうか？

a>0,b>0より、
相加相乗平均の関係から、(a+b)/2≧√ab
a+b>0より、
1/2≧√ab/(a+b)
√ab>0より、
√ab/2≧ab/(a+b)
両辺を二倍して、
√ab≧2ab/(a+b)

等号成立は、a=bのとき

回答No.2

Tacosan

2ab/a+b は 2ab/(a+b) のことかな? だとしたら, 逆数を使うってのも 1つの手ですな.

回答No.1

noname#250262

( √ab )^2 - ( 2ab / a + b)^2 を計算して整理して見てください。