解析関数のm階微分係数の求め方は?

質問

こんにちは。

λはA∈M(n;C)の固有値です。f:D→Cはλ∈Dの近傍で解析的とします。
g:D→C^{n×n}をg(z):=f(z)(z-λ)^m(zI-A)^{-1}/m! (m≦n,Iは単位行列)と置いた時,
m階の微分係数,g^(m)(λ)はどうすれば求められますか?

回答No.4

jcpmutura

n=3
の時
A=
(a11,a12,a13)
(a21,a22,a23)
(a31,a32,a33)
λ,μ,νをAの固有値
H(z)=(z-λ)^m(zI-A)^{-1}/m!
g(z)=f(z)H(z)
P(z)=(zI-A)~=(zI-Aの余因子行列)
A~=(Aの余因子行列)
h(z)=1/{(z-μ)(z-ν)}
とすると
|zI-A|=(z-λ)(z-μ)(z-ν)

λ+μ+ν=a11+a22+a33

P(z)=(zI-A)~=z^2I+z{A-(λ+μ+ν)I}+A~
P'(z)=2zI+A-(λ+μ+ν)I
P"(z)=2I

P(λ)=λ{A-(μ+ν)I}+A~
P'(λ)=A+(λ-μ-ν)I

h(z)=1/{(z-μ)(z-ν)}
h'(z)=(ν+μ-2z)/{(z-μ)(z-ν)}^2

m=1
λ≠μ≠ν≠λ
の時

H(z)
=(z-λ)^m(zI-A)^{-1}/m!
=(zI-A)~/{(z-μ)(z-ν)}
=h(z)P(z)

H(λ)=[λ{A-(μ+ν)I}+A~]/{(λ-μ)(λ-ν)}

H'(z)=h'(z)P(z)+h(z)P'(z)

H'(λ)
=h'(λ)P(λ)+h(λ)P'(λ)
=
(ν+μ-2λ)[λ{A-(μ+ν)I}+A~]/{(λ-μ)(λ-ν)}^2+[A+(λ-μ-ν)I]/{(λ-μ)(λ-ν)}
=
{(ν+μ-2λ)λ+(λ-μ)(λ-ν)}A/{(λ-μ)(λ-ν)}^2
+{(λ-μ-ν)(λ-μ)(λ-ν)-(ν+μ-2λ)λ(μ+ν)}I/{(λ-μ)(λ-ν)}^2
+(ν+μ-2λ)A~/{(λ-μ)(λ-ν)}^2
=
[(μν-λ^2)A+{λ^3+λμν-μν(ν+μ)}I+(ν+μ-2λ)A~]/{(λ-μ)(λ-ν)}^2

g'(z)
=f'(z)H(z)+f(z)H'(z)

g'(λ)
=f'(λ)H(λ)+f(λ)H'(λ)
=
f'(λ)[λ{A-(μ+ν)I}+A~]/{(λ-μ)(λ-ν)}
+f(λ)[(μν-λ^2)A+{λ^3+λμν-μν(ν-μ)}I+(ν+μ-2λ)A~]/{(λ-μ)(λ-ν)}^2

m=2
λ=ν≠μ
の時
H(z)
=(z-λ)^m(zI-A)^{-1}/m!
=(zI-A)~/{2(z-μ)}
=(z^2I+z{A-(2λ+μ)I}+A~)/{2(z-μ)}
=
{z+μ+μ^2/(z-μ)}I/2
+{A-(2λ+μ)I}{1+μ/(z-μ)}/2
+A~/{2(z-μ)}
=zI/2+(A-2λI)/2+{μ(A-2λI)+A~}/{2(z-μ)}

H(λ)=(A-λI)/2+{μ(A-2λI)+A~}/{2(λ-μ)}

H'(z)=I/2+{μ(2λI-A)-A~}/{2(z-μ)^2}

H'(λ)=I/2+{μ(2λI-A)-A~}/{2(λ-μ)^2}

H"(z)={μ(A-2λI)+A~}/(z-μ)^3

H"(λ)={μ(A-2λI)+A~}/(λ-μ)^3

g(z)=f(z)H(z)
g'(z)=f'(z)H(z)+f(z)H'(z)
g"(z)=f"(z)H(z)+2f'(z)H'(z)+f(z)H"(z)

g"(λ)
=f"(λ)H(λ)+2f'(λ)H'(λ)+f(λ)H"(λ)
=
f"(λ)[(A-λI)/2+{μ(A-2λI)+A~}/{2(λ-μ)}]
+f'(λ)[I+{μ(2λI-A)-A~}/(λ-μ)^2]
+f(λ){μ(A-2λI)+A~}/(λ-μ)^3

m=3
λ=μ=ν
の時
H(z)
=(z-λ)^m(zI-A)^{-1}/m!
=(zI-A)~/6
={z^2I+z(A-3λI)+A~}/6

H(λ)={λ(A-2λI)+A~}/6

H'(z)=(2zI+A-3λI)/6
H'(λ)=(2λI+A-3λI)/6

H"(z)=I/3
H"(λ)=I/3

H"'(z)=0

g(z)=f(z)H(z)
g'(z)=f'(z)H(z)+f(z)H'(z)
g"(z)=f"(z)H(z)+2f'(z)H'(z)+f(z)H"(z)
g"'(z)=f"'(z)H(z)+3f"(z)H'(z)+3f'(z)H"(z)

g"'(λ)
=f"'(λ)H(λ)+3f"(λ)H'(λ)+3f'(λ)H"(λ)
=f"'(λ){λ(A-2λI)+A~}/6+f"(λ)(A-λI)/2+f'(λ)I

補足

たっ大変恐れ入ります。参考にさせていただいております。m(_ _)m

回答No.3

jcpmutura

n=2
の時

A=
(a,b)
(c,d)
λ,μをAの固有値
H(z)=(z-λ)^m(zI-A)^{-1}/m!
g(z)=f(z)H(z)
A~=(Aの余因子行列)
とすると
|zI-A|=(z-λ)(z-μ)
(z-a)(z-d)-bc=(z-λ)(z-μ)
z^2-(a+d)z+ad-bc=z^2-(λ+μ)z+λμ
a+d=λ+μ
ad-bc=λμ

(zI-A)^{-1}
=
((z-d)/|zI-A|,b/|zI-A|)
(c/|zI-A|,(z-a)/|zI-A|)

m=1
λ≠μ
の時

H(z)=(z-λ)^m(zI-A)^{-1}/m!
=
((z-d)/(z-μ),b/(z-μ))
(c/(z-μ),(z-a)/(z-μ))
=
(1+(μ-d)/(z-μ),b/(z-μ))
(c/(z-μ),1+(μ-a)/(z-μ))
=
(1+(a-λ)/(z-μ),b/(z-μ))
(c/(z-μ),1+(d-λ)/(z-μ))
=
I+(A-λI)/(z-μ)

g(z)
=f(z)H(z)
=f(z){I+(A-λI)/(z-μ)}

g'(z)=f'(z){I+(A-λI)/(z-μ)}+f(z)(λI-A)/(z-μ)^2

g'(λ)=f'(λ){I+(A-λI)/(λ-μ)}+f(λ)(λI-A)/(λ-μ)^2

m=2
λ=μ
の時

H(z)=(z-λ)^m(zI-A)^{-1}/m!
=
((z-d)/2,b/2)
(c/2,(z-a)/2)
=
(zI-A~)/2

H'(z)=I/2

H"(z)=0

g(z)=f(z)(zI-A~)/2
g'(z)=f'(z)(zI-A~)/2+f(z)I/2
g"(z)=f"(z)(zI-A~)/2+f'(z)I

g"(λ)=f"(λ)(λI-A~)/2+f'(λ)I

補足

ご回答誠に有難うございます。

n≧3だと複雑になるようです。一般のnについては表しようはないのでしょうか?

回答No.2

jcpmutura

A=
(0,1)
(0,0)
λ=0
m=1
f(z)=1
g(z)=z(zI-A)^{-1}
の時
zI-A
=
(z,-1)
(0,z )

(zI-A)^{-1}
=
(1/z,1/z^2)
(0.0,1/z )

g(z)=z(zI-A)^{-1}
=
(1,1/z)
(0,1..)

g(z)(1,2)=1/zはz=λ=0で不連続微分不可能だから
g^(m)(λ)=g'(0)は求められない

補足

ご回答誠に有難うございます。DはD⊂Cの領域です。

mは固有値λの重複度でした。大変失礼いたしました。

回答No.1

ask-it-aurora

最も単純な場合、つまり A = I の場合を考えてみても、g^(m)(1) の定義式に現れる逆行列は存在しないので「求める」ことはそもそもできません。

もし質問が本当に意味をなすなら何か書き損じていますね。（それと D は定義されていませんでしたが、C 内の領域か何かですか？）

お礼

仮定を書き損じてました。mは固有値λの重複度でした。大変失礼いたしました。

補足

有難うございます。拝読させていただいてます。

仰る通り,DはD⊂Cの領域です。