係数を求める計算です。

質問

r>0の定数、g(θ)はθ∈[0,2π]で連続な関数とします。
係数an,bn.cn.dnを(n∈N)求めるために次の３つの方程式を考えます。
a0,c0はan,cnにおいてn=0としたものです。
このとき

2π (a0+c0•logr) = ∫(0～2π)g(θ)dθ
2π {bn(r^n)+dn(r^(-n))} = ∫(0～2π)g(θ)(e^inθ)dθ
2π {an(r^n)+cn(r^(-n))} = ∫(0～2π)g(θ)(e^(-inθ))dθ

以上の３つの方程式から、
an,bn.cn.dnを計算して求めたいところです。

どのように計算をすれば求められますでしょうか？
テキスト等や問題集には詳しい計算が省略されていて困っています。

どなたか解法、途中計算をよろしくお願い致します。

回答No.1

ramayana · ベストアンサー

これだけの条件からan,bn,cn,dn を特定することはできません。

a0, anとbnを任意の複素数として、

c0 =((1/2π)∫(0～2π)g(θ)dθ- a0)/•logr
dn = ((1/2π)∫(0～2π)g(θ)(e^inθ)dθ-bn(r^n))r^n
cn = ((1/2π)∫(0～2π)g(θ)(e^inθ)dθ-an(r^n))r^n

とすれば、an,bn,cn,dn は、3つの式を満たします。