面積の求め方

質問

半径1の円に内接する正八角形の面積の求め方答え教えて下さい。

回答No.4

noname#222520

ANo.3の補足・訂正です。

誤：「二等辺三角形ABCにおいて、底辺をACとするとすると、」→
正：「二等辺三角形ABCにおいて、底辺をACとすると、」

円の中心をO、線分OBと対角線ACの交点をPとすると、
∠OAP=90°/2=45°、∠AOP=360°/8=45°、∠OPA=180°-45°-45°=90°
よって、△OAPはPO=PAで∠OPA=90°の直角二等辺三角形になります。
斜辺OAの長さは1であるから、OP=1/√2、BP=1-1/√2
このBPが、二等辺三角形ABCにおいて、底辺をACとしたときの高さになります。

回答No.3

noname#222520

直角二等辺三角形において、直角を挟む2辺の長さを1とすると、斜辺の長さは三平方の定理から、
√(1^2+1^2)=√2
これから、斜辺の長さを1とすると、直角を挟む2辺の長さは1/√2

正八角形の8個の頂点を右回りでも左回りでも順にA～Hとし、対角線AC、CE、EG、GAを引くと、四角形ACEGは正方形になります。
この正方形の1辺の長さは√2であるから、この正方形の面積は、(√2)*(√2)=2

二等辺三角形ABCにおいて、底辺をACとするとすると、
この長さは正方形の1辺の長さに等しく√2
高さは1-1/√2になるので、この面積は(√2)*(1-1/√2)/2=(√2-1)/2
正八角形から正方形を除くと、この面積の二等辺三角形が4個になるので、
これらの面積の合計は(√2-1)/2*4=2(√2-1)

正八角形の面積は、正方形の面積と二等辺三角形4個の面積の合計になるので、
2+2(√2-1)=2√2

回答No.2

178-tall

「正八角形」は、円への内接点と中心を頂角とする二等辺三角形 8 つからなる。

二等辺の交角は 45 度。
二等辺長は 1 。
二等辺交角の対辺の長さ L は、2*sin(45 deg/2) 。
対辺から二等辺交角への高さ H は、cos(45 deg/2) 。
よって、二等辺三角形の面積は、
　HL/2 = sin(45 deg/2)cos(45 deg/2)　　… (1)
だろう。

残務は式 (1) の勘定。
　sin(45 deg/2)cos(45 deg/2)
　= sin(45 deg)/2 = 1/(2√2)

正八角形の面積は二等辺三角形の 8 倍、つまり、
　8/(2√2) = 4/√2 = 2√2

お礼

ありがとうごさいました(^o^)

大変助かりました(^o^)

これを気に勉強します(^o^)

回答No.1

info222_

図を描いて、円の中心Oと正八角形の頂点(A,B,C,D,E,F,G,H))を結んで、8個の部分に分割すれば、
1つの部分（△ABO）の面積S1を求めて、それを8倍すれば正八角形の面積Ｓが求まる。
∠AOB=360°/8=45°、AO=BO=1であるから
S1=(1/2)AO・(BO/√2)=(√2)/4
S=8S1=2√2 ... (答)