三角形の面積についてですが

質問

△ＡＢＣの面積をＳ、三辺の長さの和を２ｓ＝ａ+ｂ+ｃ、外接円の半径をＲ、内接円の半径をｒとするとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。
1/bc+1/ca+1/ab＝1/2ｒR
これをS=srと、S＝abc/4Rの二つの等式を用いて証明してほしいのです。
できれば、S=srの等式の照明もしていただきたいです。(S＝abc/4Rの方は自力で証明できました)

回答No.1

debut · ベストアンサー

1/bc+1/ca+1/ab=a/abc+b/abc+c/abc=(a+b+c)/abc
ここで、Ｓ=abc/4R=r(a+b+c)/2より、a+b+c=abc/(2Rr)
∴1/bc+1/ca+1/ab＝1/(2Rr)

Ｓ＝sr は証明というよりあたりまえのことですが・・
内接円の中心から三角形の各頂点に線分を引けば、３つの
三角形ができます。それぞれの三角形の底辺はa,b,cで
高さがどれもｒなので、2s=a+b+cとすれば、
Ｓ＝ar/2+br/2+cr/2=r(a+b+c)/2=sr