３で割り切れる数

質問

ある数を３で割ると割り切れる場合と割り切れない場合があります。

３６０÷３＝１８０
１００÷３＝３３．３３３ ...

ある時は綺麗に割り切れるのに、ある時は綺麗に割り切れない。
でも、割られる数と割る数の関係は常に１：３なので、直感的に割り切れないような感じがする。

この気持ち悪さ、わかります？

何となく物理と数学は違うからこの割り切れない差が物理世界だと無視できるほどなので、という気もしますが、きっちりする場合としない場合の違いが納得できません。

どうすればすっきりできるでしょうか？

回答No.4

178-tall · ベストアンサー

>１０cmの棒を３つに切ると３．３３cmの棒が２本、３．３４cmの棒が１本出来ます。しかし、３０cmの棒を３つに切ると、１０cmの棒が３本できます。とはいえ、これは前提がちょっと奇妙で、そもそも１０cmとか３０cmとか、元の棒自体の精度もありますし、３．３３cmと３．３４cmは長さが違うと言えるか？という精度の問題もあります。これが物理的な話としての理解です。

この前半は、
　１０cm の棒を有限の目盛桁を用いて正確に 3 等分するのは不可能
と読めば、「物理的な話として」ごもっともみたい。

>しかし数学的には、１０cmの棒を厳密に３等分することは不可能ではないでしょうか？
>そして３０cmの棒を厳密に３等分することは可能ではないでしょうか？

この後半については、参考 URL の、
　線分の３等分
　　線分ABの３等分点を、定規とコンパスで作図する方法を、たくさん見つける
など、「数学的」な等分法がある。

参考URL：

http://yosshy.sansu.org/3tobun.htm

お礼

ありがとうございます。参考になりました。

補足

ご指摘からそういえばルート２は正方形の斜辺だよなあというのを思い出し、無理数を調べている中で0.999... = 1ということが分かり、0.333.. は実は割り切れていることになるのであって、物理に還元すればその用途における無視できる差の範囲で常に等しいと見なせる、ということがまだなんとなくですが、前より理解できた気がする今日この頃です。

参考になったリンク(Wikipediaですが）：
https://ja.wikipedia.org/wiki/小数#.E7.84.A1.E9.99.90.E5.B0.8F.E6.95.B0

https://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...

回答No.7

sunabo

物理で単位な話(no.5様の回答とおなじ)
　同じ棒の長さを10cmとしたり、7ｃｙとすれば、割り切れたりしなかったりする。

別な数の10進数表記の話
　0,1,2,3,4,5,6,7,8,9の10個の数字と位取りで、数を書く
　10を3進数表記すると、31
3を3進数表記すると、10
　31÷10=3.1で割り切れるっぽい。

さらに別な数の性質の話
　3や10や30でそれぞれ別な数を表記している。
　表記されている数それぞれに、数だという分類では同じでも異なった性質があるっぽい。
　けど、3で割れるか?という分類では位取り表記がすっきりしないのでうまくいえないっぽい。

で分けて考えてみるとわたしもすっきりしなくなりました。
気持ち悪さがわかりました。
どうすればすっきりするかわかりません。

回答No.6

shintaro-2

>そうなると今度は３以外で割るのが難しくなりそうな気がしますが、如何でしょうか？　間違ってたらごめんなさい。

そうなんです
でも、ご質問が３で割るとだったのでそのような回答です。
７で割りたければ、10cmを7cyとでも表現すれば、すっきり割り切れますよね？
新しい単位系さえ導入すれば、どんな数ででも割り切れるのです。

現実には、先の回答通り原子数の制約がありますので、
あらゆる数で常に均等分割というのは不可能です。

回答No.5

shintaro-2

＞しかし数学的には、１０cmの棒を厳密に３等分することは不可能ではないでしょうか？　そして３０cmの棒を厳密に３等分することは可能ではないでしょうか？

今の10cmを新しい3cxとかの単位とすれば３で割りきれます。
逆に
物理的には、原子が存在しますから、
物体を構成する総原子数が３の倍数でない限り割り切れません。

ですので、
>ある時は綺麗に割り切れるのに、ある時は綺麗に割り切れない。
>でも、割られる数と割る数の関係は常に１：３なので、直感的に割り切れないような感じがする。

結局のところ
cmとか（cxとかの新しい）単位は抜きにして
数学だと、余りが目立つが、実生活においては余りが目立たない
ということに尽きるかと思います。

補足

そうなると今度は３以外で割るのが難しくなりそうな気がしますが、如何でしょうか？　間違ってたらごめんなさい。

尚、今の所、178-tall様のご回答をきっかけに0.9999...=1という理解から、１０cmを３で割ると1０／3cmになり、それは割り切れているのだ、と思うほうに９８％ぐらい傾いています。

回答No.3

qwe2010

3で割り切れる数は、すべての桁の数字を足し算して、3で割り切れれば、その数字は3で割り切れます。
たとえば、１２３４５の数字があるとすると、
1＋２＋３＋4＋5＝15です。
15は3で割り切れますので、１～5までの数字ををどのように並べ替えて、5桁の数字を造っても、それは3で割り切れます。

回答No.2

bran111

なんで3で割り切れないから気持ち悪くてまり切れたら気持ちいい？のか説明してください。
７でも９でも11でもわききれない場合は無数にあって、割り切れる場合にも整数で割り切れる場合と小数が必要な場合があって状況をよく整理して説明してください。特に３にこだわる必然性が解りません。なんかトラウマでもあるのですか。3.3は割り切れたと考えるのですか。円周率3.14159265....は無限に続く少数であることが知られていますがそれは３で割り切れないことは明らかですが、これも気も気持ち悪いのですか？そうすると悪いのは割られる数字ということですか。

補足

３は一例です。これがすっきりすれば、あとは類推できるのではないでしょうか。

回答No.1

trytobe

気持ちがスッキリしない理由の「割り切れない」が２種類混ざっているのを混在させているからです。

整数を３で割ると、余りが０，１，２の数が出るので、『ある時は綺麗に割り切れるのに、ある時は綺麗に割り切れない。』、つまり、余りが０の数は綺麗に割り切れ、余りが１や２のときは綺麗に割り切れない。

『割られる数と割る数の関係は常に１：３なので、直感的に割り切れないような感じがする。』のは、１／３という分数だと一発で書けるので「割り切れる」にもかかわらず、これを「１０進数の小数」で書くときに、０．３３３・・・や０．６６６・・・となる「終わらない小数」に対して「割り切れない」という印象に見える、という

「分数」と「小数」の違いと、「１／３刻み」と「１／１０刻み」という進数・記数法の違いが、片方では美しいが他方では美しくない（わりきれない）という感覚を生み出しているだけなのです。

補足

１０cmの棒を３つに切ると３．３３cmの棒が２本、３．３４cmの棒が１本出来ます。しかし、３０cmの棒を３つに切ると、１０cmの棒が３本できます。とはいえ、これは前提がちょっと奇妙で、そもそも１０cmとか３０cmとか、元の棒自体の精度もありますし、３．３３cmと３．３４cmは長さが違うと言えるか？という精度の問題もあります。これが物理的な話としての理解です。しかし数学的には、１０cmの棒を厳密に３等分することは不可能ではないでしょうか？　そして３０cmの棒を厳密に３等分することは可能ではないでしょうか？　この違いがおっしゃるように１／１０刻みに関係しているような気がしなくもありませんが、３等分というのは、数学的な数字の刻み幅には関係ないように思えるのです。