不等式

質問

こんにちは。いつもお世話になっています。
次の問題なのですが・・・。
問題　｜ｘ｜＋｜ｘ－２｜小なりイコール４
答え　（）ｘだいなりイコール２のとき
　　　　　　｜ｘ｜＝ｘ、｜ｘ－２｜＝ｘ－２だから
　　　　　　与式はｘ＋ｘ－２小なりイコール４となり
　　　　　　ｘ小なりイコール３
　　　　　　これと条件ｘ大なりイコール２より、
　　　　　　２小なりイコールｘ小なりイコール３

（）０小なりイコールｘしょうなり２のとき｜ｘ｜＝ｘ、｜ｘ－２｜＝－ｘ－２　だから与式はｘ－ｘ－２小なりイコール４つまり２小なりイコール４となり、常に成り立つが条件より、０小なりイコールｘ小なり２
（）ｘ小なり０・・・
となっていくのですが、条件よりというところと、（）のところの回答が全くわかりくせん。なぜなりたつのかも。教えてください。

回答No.1

elttac · ベストアンサー

それでは解いてみましょう。絶対値記号を含む問題は，そこで正負が入れ替わるところで場合分けが定石です。

(1) x ≧ 2 のとき，|x| ＝ x，|x － 2| ＝ x － 2
　　x ＋ x － 2 ≦ 4
　　x ≦ 3
　これは，（場合分けの条件）x ≧ 2 とあわせると，
　　2 ≦ x ≦ 3

(2) 0 ≦ x ＜ 2 のとき，|x| ＝ x，|x － 2| ＝ -x ＋ 2
　　x － x ＋ 2 ≦ 4
　　2 ≦ 4
　これは，（0 ≦ x ＜ 2 で）つねに成り立っている。

(3) x ＜ 0 のとき，|x| ＝ -x，|x － 2| ＝ -x ＋ 2
　　-x － x ＋ 2 ≦ 4
　　x ≧ -1
　これは，（場合分けの条件）x ＜ 0 とあわせると，
　　-1 ≦ x ＜ 0

　以上から，
　　-1 ≦ x ≦ 3
が解となる。

　以上，参考になりましたでしょうか。

回答No.2

Masye

下の方の通りです。　非常に丁寧な解答ですね。

絶対値→場合分けを利用して解く　のが多いです。　二乗するときなど、他にもありますが、今回は関係ないので、書きません。

下の方が、詳しくかいていらっしゃるので、どうしてそこで場合わけするかについて、すこし、

絶対値というのは、絶対に＋でなければなりません。
ですから、ｘがプラスだったら、｜ｘ｜＝ｘ
でよいのだけれど、ｘがマイナスだったら、｜ｘ｜＝－ｘとなります。　具体的に数値を入れてみるとわかりやすいです。｜１｜＝１　｜－２｜＝－(－２)＝２

このように、絶対値の中身がプラスORマイナスで、場合わけというのをしなくてはなりません。
ですから、
１番目）
｜ｘ｜の中身がプラスで｜ｘ－２｜の中身もプラス

２番目）
｜ｘ｜の中身がプラスで｜ｘ－２｜の中身がマイナス

３番目）
｜ｘ｜の中身がマイナスで｜ｘ－２｜の中身もマイナス
に場合分けをしなくてはならないのです。

ついでに、

｜ｘ｜の中身がマイナスで｜ｘ－２｜の中身がプラス　のものは存在しないので、やらなくてもOKなのです。　以上です。