多項式環の因数について

質問

Rを環，F(X)を多項式環R[X]の元とします．
このとき，F(X)=(X-a)G(X)（a∈R）と因数分解したときにG(X)もまたR[X]の元になりますか？

もしそうなるのであればどのように証明すればいいのか教えてください．

G(X)がR[X]の元でない（すなわちG(X)の係数でRの元でないものがある）とき，(X-a)を掛けたF(X)もR[X]の元でないと，対偶を示そうと思ったのですがうまくいきませんでした…．

よろしくお願いします．

回答No.3

alice_44

なるほど、No.2 の言う通りだ。
「特に断らない限り、環は単位的可換環とする」のは
お約束だが、黙って整域と仮定するのは行き過ぎだ。
多項式の係数ということで、つい油断した。恐縮。

回答No.2

graphaffine

>G(X)がR[X]の元でない（すなわちG(X)の係数でRの元でないものがある）

Rの元でないものとは、何ですか。今は、Rの中で考えているのではないですか。
それから、環Rに条件は無いのですか。例えば、例因子を持たないとか。
全く一般の環で「因数分解」が意味を持つのだろうか。

回答No.1

alice_44

F(a)=0 でないと、G(X)∈R[X] ではない。

F(a)=0 であれば、因数定理により、
F(X) は R の分数体 K 上の多項式環 K[X] 内で
F(X)=(X-a)G(X) と因数分解されるが、

K の元として定義された G(X) の係数が
実は R の元であることを、
高次の係数から順に示してゆけばよい。