恒等式、多項式

質問

高校数学の参考書に以下の公式が書かれているのですが、証明がありません。教えていただけないでしょうか。

1.f(x), g(x)を多項式とする。全ての自然数nについて
f(n) = g(n)
が成り立つならば、全ての実数xに対して
f(x) = g(x)
が成り立つ。

→方針から立ちません。お願い致します。

2.f(x), g(x), h(x)を多項式とする。h(x)≠0のとき、
f(x)・h(x)= g(x)・h(x)
が恒等式であるための条件は
f(x) = g(x)
が恒等式であることである。

→下記までは出来ました。これで合っていますか？
f(x)・h(x)= g(x)・h(x)より
(f(x)-g(x))・h(x)=0
h(x)≠0よりf(x) - g(x)=0
よって f(x) = g(x)

回答No.1

f272 · ベストアンサー

(1)
f(x)も g(x)も多項式なのだから、n次の整式です。それが異なるn+1点で等しい値となるのであれば、同じ多項式であると言えます。
f(x)-g(x)はx-1で割り切れ、x-2で割り切れ、x-3で割り切れ、...、x-n-1で割り切れます。そうするとf(x)-g(x)=a(x-1)(x-2)...(x-n-1)と因数分解できますが、f(x)-g(x)は高々n次でa(x-1)(x-2)...(x-n-1)は(n+1)次です。
つまり矛盾しないようにするためにはa=0でなければなりません。f(x)-g(x)=0ですね。
(2)
その方針でよい。

補足

ご回答ありがとうございます。
質問させてください。

＞それが異なるn+1点で等しい値となるのであれば、同じ多項式であると言えます。

→これは恒等式の定義で良いでしょうか？
次数を考えて証明するのですね。
思いつきませんでした。ありがとうございます。

二番は問題ないとのことで安心しました。

回答No.2

f272

> →これは恒等式の定義で良いでしょうか？

何を恒等式の定義とするかは流派があって
1. 含まれている各文字にどのような値を代入しても，その両辺の式の値が存在する限り，等式が常に成り立つとき，その等式をそれらの文字についての恒等式という
2. 等式で両辺が式として等しいとき，つまり，両辺が同じ式に変形されるとき，この等式を恒等式という
の2つが代表的なものだと思う。
(n+1)個の異なる実数に対して等しい値をとる二つのn次多項式はすべての実数に対して等しい値をとること
は証明すべき定理です。

補足

有難うございます。
おかげさまで理解が進みました。
またよろしくお願い致します。