次の問題、お願いします。

質問

直角三角形ＡＢＣがあり、∠Ｂが直角で、ＡＢ＝24cm、BC=18cmである。
弧の内部に辺ＡＢに接する半径3cmの円Ｏがあり、接点をＴとします。

円Ｏが頂点Ａのほうに移動して辺ＡＣに接したとき、ＡＴの長さを求めよ。

という問題です。
お願いします。

回答No.1

nattocurry · ベストアンサー

ところどころ、簡単な証明は省いているので、自力で証明してくださいね。

三平方の定理より、辺ＡＣ＝３０ｃｍ

円Ｏの中心をＰとします。

辺ＡＢに接している円Ｏが、辺ＡＣとも接しているとき、直線ＡＰは、∠Ａを二等分します。
これは解りますか？

直線ＡＰと辺ＢＣとの交点を点Ｑとします。
点Ｑから辺ＡＣに垂線を引き、その垂線と辺ＡＣとの交点を点Ｒとします。
すると、△ＡＢＱと、△ＡＲＱは、直線ＡＱに対して対称な三角形になります。

ゆえに、辺ＡＢ＝辺ＡＲ＝２４ｃｍ　となります。

次に、△ＱＲＣを考えます。
∠ＱＲＣ＝∠ＡＢＣ
∠ＱＣＲ＝∠ＡＣＢ
なので、△ＱＲＣと△ＡＢＣは相似です。

線分ＲＣ＝線分ＡＣ－線分ＡＲ
線分ＡＣ＝３０ｃｍ
線分ＡＲ＝線分ＡＢ＝２４ｃｍ
線分ＲＣ＝６ｃｍ

△ＱＲＣと△ＡＢＣは相似なので、線分ＱＣ＝１０ｃｍ

線分ＢＱ＝線分ＢＣ－線分ＱＣ＝１８ｃｍ－１０ｃｍ＝８ｃｍ

円Ｏは辺ＡＢに接しているので、∠ＡＴＰ＝９０°
∠ＡＢＱ＝９０°
∠ＴＡＰ＝∠ＢＡＱ
△ＡＢＱと△ＡＴＰは相似。

辺ＡＢ：辺ＡＴ＝辺ＢＱ：辺ＴＰ
辺ＡＴ＝辺ＡＢ×辺ＴＰ÷辺ＢＱ
　　　＝２４ｃｍ×３ｃｍ÷８ｃｍ
　　　＝９ｃｍ

私はこうやって解きましたが、もっと簡単でスマートな解き方があるのかも。

お礼

回答ありがとうございました。

またお願いします。

回答No.4

nag0720

円Ｏの中心をＯをすると、
直線ＡＯは、∠Ａの２等分線です。
tan(∠Ａ/2)=3/AT
なので、tan(∠Ａ/2)が分かれば、ATが分かります。

tan(∠Ａ/2)は半角の公式を使ってもいいし、
直線ＡＯとＢＣとの交点をＤとしたとき、
ＢＤ：ＤＣ＝ＡＢ：ＡＣ
の関係式からＢＤを求めて、
tan(∠Ａ/2)＝ＢＤ/ＡＢ
で計算しても求められます。

回答No.3

Quattro99

#2です。
すみません。最後のところ、間違えました。ATは4x-3です。

回答No.2

Quattro99

円の移動後の図で、BCに平行で円に接する直線を引きます（2本ありますが、この直線とAB、ACで作られる三角形が円に外接するほう）。
このとき出来た三角形は元の三角形と相似なので、辺の比は3:4:5です。辺を3x、4x、5xと置くと、三角形の面積は3x*4x/2ですが、一方で内接する円の半径が3であることからは(3x+4x+5x)*3/2です。
これから等式を立てて解けば求まります（ATは4xです）。