漸化式と極限(はさみうち)

質問

lim(n→∞)(3-An)=0のとき、
lim(n→∞)An=3は、
数列の極限値の性質のどれから、成り立つのでしょうか、
教えてください。お願いします。

回答No.4

jcpmutura

任意のε>0に対して
ある自然数n_0が存在して
n>n_0となる任意の自然数nに対して
|3-A_n-0|<ε
となる時
lim_{n→∞}3-A_n=0
と定義する
という極限の定義
と

任意のε>0に対して
ある自然数n_0が存在して
n>n_0となる任意の自然数nに対して
|A_n-3|<ε
となる時
lim_{n→∞}A_n=3
と定義する
という極限の定義
で、

|3-A_n-0|=|A_n-3|
だから

lim_{n→∞}3-A_n=0
と
lim_{n→∞}A_n=3
は
同値となります

お礼

しっかりした説明、ありがとうございます。

回答No.3

bran111

lim(n→∞)(3-An)=3-A∞=0

ゆえに

A∞=3

単なる代数です。

お礼

代数を使った説明、ありがとうございます。

回答No.2

f272

極限は線形性があります。つまり極限が存在する限りは
lim(n→∞)(Bn-An)＝lim(n→∞)(Bn)-lim(n→∞)(An)
です。この場合には
lim(n→∞)(3-An)＝lim(n→∞)(3)-lim(n→∞)(An)
であって，左辺も右辺第1項も存在するので，右辺第2項も存在し=3と計算できます。

お礼

お返事ありがとうございます。

回答No.1

shintaro-2

普通に考えれば、極限値の一意性でしょう。

そもそも３は数列とは関係のない定数ですから、いろいろ考えません。
もし
lim(n→∞)(４-An)=１だったら、
lim(n→∞)An=3　とでも変換するのですか？

お礼

お返事ありがとうございます。