高校数学 漸化式の不等式と極限

質問

数列{An}が不等式
4A(n+1)-3A(n)<2
2A(n+1)-A(n)>2 (n=1,2,・・)
をともにみたすとき、次の問に答えよ
(1) A(n)-2<(3/4)^(n-1)(A(1)-2) (n=2,3,・・)

(2) lim(n→∞)A(n)を求めよ

まったく分かりません。

回答No.2

alice_44

設問(1.5)
(1)と同様に、A(n)-2＞((1/2)の(n-1)乗)(A(1)-2) が成り立つことを示せ。
設問(2)
(1)と(1.5)からハサミウチ法によって、lim[n→∞](A(n)-2) を求めよ。
…と、読み替えるのがスナオかと思う。

回答No.1

Dracky376B

ポイントだけ。

・4A(n+1)-3A(n)<2 (n=1,2,・・) … (1)
・2A(n+1)-A(n)>2 (n=1,2,・・) … (2) とする。

(1) A(n)-2<(3/4)^(n-1)(A(1)-2) (n=2,3,・・) … (3) について
・(a) n=2 の時、(1)の式を変形して、A(2)-2<(3/4)(A(1)-2) となるから、成立。
・(b) n=k の時、式(3) が成立と仮定
　n=k+1 の時、(1)式より、
　A(k+1)<(3/4){(3/4)^(k-1)(A(1)-2)+2}+(1/2)
　A(k+1)-2<(3/4)^((k+1)-1)(A(1)-2) が成立。

　よって、式(3)は、n=2,3,...について成立。

(2) (1)、(2)から、以下の関係が導かれる。
　2A(n)+4 < 4A(n+1) < 3A(n)+2
　よって、A(n) - 2 > 0 … (4)

　(3)、(4)より
　0 < A(n) - 2 < (3/4)^(n-1)(A(1)-2)

　lim(n→∞) 0 = 0
　lim(n→∞) {(3/4)^(n-1)(A(1)-2)} = 0 より
　lim(n→∞) {A(n) - 2} = 0
　∴lim(n→∞) A(n) = 2