広義積分・2重積分について

質問

(1)∫（0→3）１／（√ｘ－１の3乗根）ｄｘの解法を教えてください。

(2)2重積分のｄｘｄｙとｄｙｄｘとでは何がどう違うのですか。ｄｘ、ｄｙの順番は関係あるのでしょうか。ご教示をお願いします。

回答No.2

info222_

No.1です。

ANo.1の補足の質問の回答
>（１）ですが、０→１と1→３にわけて解くのかと思っていましたが、
問題ミスでしょうか。

問題ミスですね。被積分関数が未定義の範囲(0→1)では未定義域なので積分不可能です。
したがって、積分範囲は(1→３)の間違いでしょう。
なお、積分の下限のx=1で被積分関数が未定義ですが、積分の下限a=1をa→1+と極限をとれば積分は収束するので範囲（1→3)の積分は広義積分といえます。

質問のような広義積分の問題はないということになりますか。
もう一度見てみます。

お礼

ご指摘ありがとうございます。勉強してみます。

回答No.1

info222_

(1)
I=∫（0→3）１/(ｘ-1)^(1/3)ｄｘ
=∫（0→3）(ｘ-1)^(-1/3)ｄｘ
実数の範囲の積分なら(x-1)>0なので x>1が被積分関数の定義域。
したがって積分範囲が（0→3）は間違いで（1→3）の間違いでは
ないですか?
そうであれば
I=[(3/2)(x-1)^(2/3)]（1→3）
=(3/2)*2^(2/3)
=3/2^(1/3)

(2)
>2重積分のｄｘｄｙとｄｙｄｘとでは何がどう違うのですか。ｄｘ、ｄｙの順番は関係あるのでしょうか。

通常
dxdyとdydxを区別する場合は
前に書いた方の積分変数で先に積分し、その後、後ろに書いた積分変数で積分します。
なので
dxdyはxで先に積分し、次にyで積分する。
dydxはyで先に積分し、次にxで積分する。
ことを意味します。
積分の順序にdxとdyを並べます。

しかし
dxdyだけを単独で使うときは、単純に積分領域で2重積分するといった意味で使い、
特に積分順序を指定しているわけではありません。

以上、前後関係によりどちらの場合か使い分けて考える必要があります。

お礼

分かりやすい解説ありがとうございました。
（１）ですが、０→１と1→３にわけて解くのかと思っていましたが、
問題ミスでしょうか。質問のような広義積分の問題はないということになりますか。
もう一度見てみます。