0次と1次の第2種変形ベッセル関数の関係

質問

0次の第2種変形ベッセル関数 K_0(x)は微分することで
1次の第2種変形ベッセル関数 K_1(x)と一致します。
つまり、
d/dx [ K_0(x) ] = - K_1(x)
という関係があります。

一方で、
K_1(x) = f ( K_0(x) )
あるいは
K_0(x) = f ( K_1(x) )

のように関数による関係はございますでしょうか？
手元にある特殊関数の書籍を見てみましたが載っていませんでした。

どなたかご存じでしたら教えてください。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

Tacosan さんの二番煎じですが，
f ( K_0(x) ) = K_1(x) / K_0(x)
と定義してしまえば，お望みの関数になります．
ん，関数の名前がない？
motarou 関数とでも名前つけちゃえばいいです．

もしかすると，ご質問の趣旨は以下のようなことでしょうか？

-------------------

cos(x) を微分すると -sin(x) になります．
そして，
(1)　　sin^2(x) + cos^2(x) = 1
あるいは
(2)　　sin(x) = ±√(1-cos^2(x))
です(複合は適当に調整しないといけないが)．
K_0(x) を微分すると -K_1(x) で，これは cos と sin の関係と同じです．
それなら，(1)あるいは(2)に対応するような
簡単な(初等関数で記述できるような)関係式が
K_0(x) と K_1(x) の間にもあるのではないか？

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残念ながらそのような関係式はありません．
(3)　　(d/dx)K_n(x) = - (1/2) { K_{n-1}(x) + K_{n+1}(x) }
という関係式はあります．
K_{-n}(x) = K_n(x) なので，n=0 とすると
(4)　　(d/dx)K_0(x) = - K_1(x)
になります．

お礼

お見それしました。

回答No.1

Tacosan

K_0 が単調なら
K_1(x) = f ( K_0(x) )
という f は自明に存在しますが, それでいいですか?

お礼

ありがとうございます。

「単調なら」というのはxの範囲に条件がつくということでしょうか？
もし関係式があれば教えてください。