因数分解の文章題です。

質問

何度してもしっくりきません。
(1)２５２に自然数ａをかけて、その結果の数がある数の２乗になるようにしたい。このような自然数ａのうちで、もっとも小さいものを求めよ。
（問題の意味さえピンときません・・・・）

２５２を素因数分解すると
２＾2×３＾2×７
答えでは２乗でないものを選ぶと７

答え７

(2)３００に自然数ａをかけて、その結果の数がある数の２乗になるようにしたい。このような自然数ａのうちで、もっとも小さいものを求めよ。

３００を素因数分解すると
３×２＾2×５＾2

答え３

（類題）素因数分解の結果が２×３×４＾2の場合

（類題）素因数分解の結果が２＾2×３＾2の場合はこたえはどのようになるのでしょうか？またその理由もお願いします。

回答No.3

koko88okok · ベストアンサー

ある数を「ｘ」として、文章をそのまま式に現すと、
「252×a＝ｘ^2」 となりますね。

これを「ｘ」について解くと、
ｘ＝√(252×a)＝√(２＾2×３＾2×７×a)です。
「a＝７」の場合、√(２＾2×３＾2×７＾2)＝４２　です。

前記の式を「類題１」に当てはめると、
ｘ＝√(２×３×４＾2×a)から
「a＝６」の場合、√(２＾2×３＾2×４＾2)＝２４

同様に、「類題２」は、
ｘ＝√(２＾2×３＾2×a)から
「a＝１」の場合、√(２＾2×３＾2×１＾2)＝６　です。

回答No.4

chie65536

追記。

「長方形の板を並べて正方形を作る」と考えれば判りやすい。

２＾2×３＾2×７
は
（２×３×７）×（２×３）
なので
「縦が６×７、横が６の、縦長の長方形の板がある。何枚並べると正方形になるか？」
って事。

この板を６分の１の大きさに縮小しても、並べる枚数は変わらない。つまり
「縦が７、横が１の、縦長の板がある。何枚並べると正方形になるか？」
って事。これなら小学生でも判る。答えは「７枚」

３×２＾2×５＾2
なら
３×２×２×５×５
だから
「縦３×２×５、横２×５の板」になる。１０分の１に縮小したら「縦３×１０、横１０」は「縦３、横１」になる。答えは「３枚」

２×３×４＾2
は
２×３×４×４
なので
（２×３×４）×（４）
これを４分の１に縮小すれば
（２×３）×（１）
で「縦６、横１」になる。答えは「６枚」

２＾2×３＾2
は
２×２×３×３
で
（２×３）×（２×３）
だから「元々、縦６、横６の正方形の板」なので、答えは「１枚」。複数枚を並べる必要は無い。

回答No.2

chie65536

要は
（因数１×ある数ａ）×（因数２×因数２）
の形にしなさい、と言っているだけ。
（ここでの「因数」とは、複数の素因数を掛け算した物を言う）

この時「因数１」と「ある数ａ」が等しければ
（ある数ａ×ある数ａ）×（因数２×因数２）
であって、これは
（ある数ａ×因数２）＾２
に他ならない。

つまり「因数１を求めれば、ある数ａが求まる」のであり、言い換えれば「素因数に分解した時、偶数個現れる素因数は無視し、奇数個現れる素因数すべての積が答え」となる。

もっと簡単に言えば「すべての素因数を偶数個にするには、ａを何にすれば良いか」と言う事。

２＾2×３＾2×７×ａ
は
２×２×３×３×７×ａ
なので「全ての素因数を偶数個にするには、ａを７にすれば良い」事になる。

同様に
３×２＾2×５＾2×ａ
は
３×２×２×５×５×ａ
なので「ａは３にすれば良い」事になる。

２×３×４＾2×ａ
は
２×３×４×４×ａ
なので「ａは２×３で６」。

２＾2×３＾2×ａ
だけは特殊で
２×２×３×３×ａ
なら、ａ以外は全部偶数個なので、ａは１になる。これは
２×２×３×３×ａ
を
１×２×２×３×３×ａ
と考えれば良く、ａには、唯一奇数個になっている１を選べば良い。１は何回掛け算しても不変ですから。

気を付けなければならないのは
３×３×５×５×８×ａ
など。これは
３×３×５×５×２×２×２×ａ
なので、ａは８ではなく２。

回答No.1

ngoma2008

ある数の二乗になる、ということは
(ある数)^2
ということです。べき乗の計算の性質で
a^2×b^2 = (a×b)^2
というのがあります。a,b,・・・いくらあってもいいのですが、二乗の数をまとめることができる、ということです。
2^2×3^2×5^2 であれば、(2×3×5)^2 ということですね。
素因数分解して a^2×b^2×c であればもうひとつcをかけてa^2×b^2×c^2 となって、(a×b×c)^2となり、ある数(この場合a×b×c)の二乗になります。　a^2×b×c であれば、(b×c)をかけてあげれば(a×b×c)の二乗になります。

2^3×3^2　の場合、2×2^2×3^2　と考え、×2が足りない、となります。