三角形の面積の問題

質問

「三角形ＡＢＣがあり、辺ＢＣを三等分する点をＢ側からＤとＥとし、辺ＡＣを三等分する点をＣ側からＦとＧとし、頂点Ａと点Ｄ・点Ｅを、頂点Ｂと点Ｆ・点Ｇをそれぞれ直線で結び、三角形ＡＢＣ内を９つに分けます。そのうちの辺ＡＧを一辺とする三角形と辺ＢＤを一辺とする三角形、それに９つに分けられた真ん中の四角形、の３つを足した面積を求めなさい。ただし三角形ＡＢＣの面積は１０５０平方センチメートルとする。」というものです。下手な図と文字での説明で済みません。知人から聞いたのですが、小６の授業で出されたというのです。小学生レベルでとける問題なのか、また答えはどうなるのでしょうか。その知人も知り合いから聞いただけで、答えは知らないそうです。解き方とともに教えてください。ちなみに私は、単純に１０５０平方センチメートルの三分の一が答えではと考えています。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

この問題は小学生には無理じゃないのかなあ。

三角形の内部の交点を次のように定めます。
線分ADとBFとの交点をH
線分ADとBGとの交点をI
線分AEとBFとの交点をJ
線分AEとBGとの交点をK

そうすると、交点は各線分を次のように内分します。
AI：IH：HD＝21：9：5
AK：KJ：JE＝12：9：7
BH：HJ：JF＝12：9：7
BI：IK：KG＝21：9：5

あとは、それぞれの比から面積比を計算すれば、
三角形AGKと三角形BDHは全体の1/21
内部の四角形は全体の9/70
計47/210となり、三角形ABCの面積が1050平方センチメートルなので、
求める面積は、235平方センチメートルとなります。

上記の線分の比を求める方法はベクトルを使いましたが、小学生レベルでは思いつきませんでした。

お礼

さっそくありがとうございます。ベクトルですか、すごいな！中学生レベルの解き方しか知らなかったので正直お手上げでした。単純に３分の１ではなかったんですね。ご指摘のことですが「挑戦しよう」というようなことが書かれたプリントを小６の宿題で出されたそうです。