青チャート1 例題56の問題がわかりません

質問

√7は無理数であることを証明せよ。という問題で、解答の最後にaとbが1以外に公約数をもたないことに矛盾する。したがって√7は無理数である。とあるのですが、なぜaとbが1以外に公約数をもたないことに矛盾すると無理数が証明されるのかわかりません。教えてください。

回答No.1

foitec · ベストアンサー

√7　を有理数と仮定します。（つまりこれ以上約分できない一つの分数としてあらわせると仮定する）

そうだとすれば　√7　は　a/b　で表せることになりますね。
（aとbの最大公約数は１＝約分できない）
この式の両辺にbをかけて、2乗すると、

7b^2 = a^2
b^2 は整数だから左辺は 7 の倍数
当然右辺 a^2 も 7 の倍数

今、k を整数とすると
a=7k と表せます。
従って
7b^2=a^2
7b^2=(7k)^2
7b^2=49k^2
つまり
b^2=7k^2

従って b も7の倍数。

つまり a も b も 7 の倍数となってしまいます。
そうなると有理数であるべき条件、互いに素ではないことつまり
「以上約分できない一つの分数」ではなくなります。
（aとbの最大公約数は１＝約分できないに矛盾）

従ってaとbが1以外に公約数をもたないことに矛盾しているので
√7 は有理数ではない、つまり無理数であるという事になります。

お礼

有理数とはこれ以上約分できない分数なんですね。初めて知りました。