数II論証の問題について

質問

「ｘが無理数ならば、ｘ＾2とｘ＾3の少なくとも一方が無理数になることを証明せよ」

↑という問題で、↓のような解答は可能でしょうか？

背理法を用いる。
xが無理数のとき、ｘ＾2とｘ＾3がどちらも無理数でない（有理数）と仮定すると、
互いに素な自然数a,bと、互いに素な整数c,d(d≠0)…（*）を用いて　ｘ＾2=a/b、ｘ＾3=c/d
このとき、ｘ=ｘ＾3/x^2=bc/ad
（*）より、bc、adともに有理数なので、bc/adは有理数。
これは、ｘが、無理数であることに矛盾する。
したがって命題は真である。

強引に導いてしまったので、厳しく添削していただけると嬉しいです♪
よろしくお願いします。

回答No.3

Caper

● yayoi0221 さん が提示なさいました証明の中で、私が気になったのは「 x が無理数のとき 」という個所です。
　 ここでは、「 x が無理数であって 」とか「 x が無理数であり、なおかつ 」などと表現したほうがよいと、私は思います。

　 数学の証明の中で用いられる「 … のとき 」という言葉は、「 … ならば 」を意味する場合がほとんどです ( 同義と言っても過言ではないかもしれません )。

　 この証明の冒頭に「 背理法を用いる。x が無理数である "ならば"、ｘ^2 と ｘ^3 がどちらも 無理数でない ( 有理数 ) と仮定すると、… 」と記述するのはまちがいであると、私は思います。

●「 P であるならば Q である 」を背理法によって証明しようとする場合、「 P であって Q でない 」という命題から矛盾を導き出します。

● boiseweb さん が記述なさいました ANo.1 と multipul さん が記述なさいました ANo.2 を参考に、そして、yayoi0221 さん が記述なさいました証明を参考に、私は次のような証明を記述してみました。

　 背理法によって証明します。x が無理数であって、x^2 と x^3 がともに有理数であると仮定します。

　 仮定より、x^2 は有理数ですから、x^2 = a/b を満たす 2つ の整数 a と b が存在します。ただし、b = 0 なることはありません。同様に、仮定より、x^3 は有理数ですから、x^3 = c/d を満たす 2つ の整数 c と d が存在します。ただし、d = 0 となることはありません。
　 また、仮定より、x は無理数ですから、x = 0 となることはありません。よって、x^2 = 0 となることはありません ( これは証明済みとして、先へ進みます )。よって、a = 0 となることはありません。

　 以上の結果から、次の等式が満たされます。
　 x = (x^3)/(x^2) = (bc)/(ad)
　 この等式の最右辺は有理数です。このことは、x が無理数であるとした仮定に反します。

● 別の証明を紹介させてください。

1) ( x は無理数である ) ならば (( x^2 は無理数である ) または ( x^3 は無理数である ))

　 を証明することは、

2) (( x は無理数であり ) かつ ( x^2 は有理数である )) ならば ( x^3 は無理数である )

　 を証明することと同じです。

　 また、筑波大学の Web ページ に、「『 0 でない有理数 』と『 無理数 』の積は必ず無理数になる 」ということ示されています。

　 http://www.math.tsukuba.ac.jp/~pen/set/set-ans01.pdf
　 1ページ目 の中ほど

　 2) と この Web ページ の記述を利用すれば、次のような証明も可能ではないでしょうか。

　 x が無理数であって、x^2 が有理数であると仮定します。仮定より、x は無理数ですから、x = 0 となるこはありません。よって、x^2 = 0 となることはありません ( これは証明済みとして、先へ進みます )。「 0 でない有理数 」と「 無理数 」との積は必ず無理数になりますから、x と x^2 の積、すなわち x^3 は無理数になります。

● 以上の私の記述にまちがいがありましたら、ひらにごめんなさい。

回答No.2

noname#149523

a,bやc,dが互いに素かどうかはこの問題に特に関係しないので書かなくてもよい(書いてもいいけど書かなくてもよいということ)。
d≠0は仮定とx^3=c/dからわかるので書かなくてもよい。
bc/adの分母が0でないことを示すためにa≠0は書くべき。解答に自然数aと書いてるからいい、ということではなくてなぜa≠0なのかを書いたほうがいい。なお、自然数に0を含める流儀もあるので注意。
背理法を使うための仮定の立て方はそれでいい。

回答No.1

boiseweb

↓この質問への回答(#1)でも述べたことですが，私のおすすめは「背理法より対偶法」です．

背理法と命題の否定について
http://okwave.jp/qa/q6051628.html

あなたの証明を見直してみましょう．最初に「x は無理数」と仮定しています．でも，証明の議論の最中では，実はその仮定を積極的に使ってはいません（「x≠0」という形で暗黙的に使っていますが）．結論を導く直前ではじめて，「～に矛盾する」と言うために，思い出したように引っ張り出しているのです．
こういう場合は，証明すべき内容を対偶に言い換えておいて，それの証明を書いたほうが，すっきりします．
実際，この証明から，最初の「xが無理数である」と最後の「これは，x が，無理数であることに矛盾する」を取り除いたら，それは本質的に「x^2, x^3 がともに有理数ならば x は有理数である」の証明になっています．
（正確に言えば，x=0 と x≠0 に場合分けしたときの x≠0 の場合について，この証明の議論がそのまま使える，ということです．x=0 の場合は直ちに「x は有理数」と結論できるので，x≠0 の場合が本質的です．）

上述の「おすすめ」を別にすれば，基本的な議論の方針は good で，証明の記述もよく書けているほうだと思います．
私からは「分母が 0 にならないことの保証について，よりていねいに言及すべし」とだけアドバイスしておきます．

お礼

ありがとうございました(*^_^*)!!
boisewebさんのアドバイスを参考にして、もっとわかりやすい解答になるように修正したいと思います。