高校数学の証明、添削お願いします！

質問

新高3です。
どなたか以下の証明が合ってるかどうか添削願いますm(__)m

【問い】「aとbが互いに素であるとき、
a^2とb^2が互いに素であることを証明せよ」

【私の答え】
a^2とb^2の最大公約数をＧとおくと、
a^2=αＧ
b^2=βＧ
(αとβは互いに素)とおける。
このとき、a>0,b>0だから、
a=√α×√Ｇ
b=√β×√Ｇ
となり、aとbは公約数√Ｇをもつが、
a,bは互いに素より√Ｇ＝1でなければならない。
∴Ｇ=1　　　
a^2とb^2の最大公約数は1となり、
a^2とb^2は互いに素である。

「最大公約数をＧ」とおいて、Ｇ＝１となることを利用する「互いに素の証明」をやってみたかったのですが、なかなか上手く行きません(__)もし違っていましたら、上の方針でどなたか出来る方模範解答を提示してくださるとうれしいです(__)お願いします。

回答No.4

uzumakipan

こんばんは。素因数分解の一意性から、別の示し方を考えてみました。

a,bの素因数分解が

a=a_1・a_2…a_m　(各a_iは素数)
b=b_1・b_2…b_n　(各b_jは素数)

であるとする。仮定よりaとbは互いに素であるから、各a_i(i=1,2,…,m)はb_j(j=1,2,…,n)と異なる。

したがって、
a^2=(a_1)^2・(a_2)^2…(a_m)^2
b^2=(b_1)^2・(b_2)^2…(b_n)^2
において、各(a_i)^2 (i=1,2,…,m)は(b_j)^2 (j=1,2,…,n)と異なる。
したがってa^2とb^2は共通の素因数をもたない。ゆえに、a^2とb^2は互いに素である。

回答No.3

koko_u_

>(1)式よりa^2はkで割り切れる。kは素数より、aもkで割り切れる。
うーん。これで OK なら、「素因数分解の一意性から明らか」でも良くなってしまうよね。

# 今の高校生ってどのくらいまで学習しているのかサッパリわからん。

回答No.2

uzumakipan

こんばんは。

＞となり、aとbは公約数√Ｇをもつが、
a,bは互いに素より√Ｇ＝1でなければならない。

この部分が間違っています。その理由は、√Ｇが自然数とは限らないからです。

それよりも

a^2とb^2の最大公約数をＧとおくと、
a^2=αＧ…(1)
b^2=βＧ…(2)
(αとβは互いに素)とおける。

Ｇの任意の素因数の１つをkとすると。(1)式よりa^2はkで割り切れる。kは素数より、aもkで割り切れる。同様に(2)式からbもkで割り切れる。条件よりaとbは互いに素であるから、k=1である。kはＧの任意の素因数であるから、Ｇ＝１となる。よって、a^2とb^2は互いに素である。

回答No.1

koko_u_

>となり、aとbは公約数√Ｇをもつが、
Gが平方数であることは何処から導かれたのですか？