デルタ関数について

質問

デルタ関数の性質を用いて次の性質が成り立つことを示せ
δ(ax) = |a|^(－1) δ(x)

という問題があり右辺はax=uと置き
±f(0)/a
となるというこがなんとなく分かったのですが
左辺はどうやって証明すれば良いでしょうか

回答宜しくお願いします。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

フーリエ変換の公式とδ関数の性質を使えばいいでしょう。

δ(x)関数の対称性から
δ(-x)=δ(x)
F(f)= ∫ (-∞,∞) δ(x) e^(-i2πfx) dx=e^(-i2πf*0)=1
δ(x)= ∫ (-∞,∞) F(f) e^(i2πfx) df= ∫ (-∞,∞) e^(i2πfx) df
=δ(-x)= ∫ (-∞,∞) e^(-i2πfx) df

G(f)= ∫ (-∞,∞) δ(ax) e^(-i2πfx) dx
a>0のとき　ax=u とおけば
G(f)= ∫ (-∞,∞) δ(u) e^(-i2πfu/a) du/a=(1/a) ∫ (-∞,∞) δ(u) e^(-i2πfu/a) du=(1/a)e^0=1/a
δ(ax)= ∫ (-∞,∞) G(f) e^(i2πfx) df= ∫ (-∞,∞) (1/a) e^(i2πfx) df=(1/a) ∫ (-∞,∞) e^(i2πfx) df
=(1/a)δ(x)

a<0のとき　ax=-uとおけば (-a)x=u
G(f)= ∫ (∞,-∞) δ(-u) e^(-i2πf(-u/a)) (-du/a)=(1/a) ∫ (-∞,∞) δ(u) e^(i2πfu/a) du=(1/a)e^0=1/a
δ(ax)= ∫ (-∞,∞) G(f) e^(i2πfx) df= ∫ (-∞,∞) (1/a) e^(i2πfx) df=(1/a) ∫ (-∞,∞) e^(i2πfx) df
=(1/a)δ(x)

(証明終り)
=e^(-i2πf*0)=1

お礼

回答ありがとうございます。
フーリエ変換ですか...まだ習ってないので勉強します。

ありがとうございました

回答No.2

info222_

No.1です。

ANo.1の最後の行の
「=e^(-i2πf*0)=1 」
は消し忘れですので削除してください。

お礼

訂正ありがとうございました。