関数関係を満たす関数

質問

次の関数関係をみたすもので、f(x)=ax (aは定数）以外にあるでしょうか？
f(x)-f(1/x)=f'(1)(x-1/x)

回答No.8

178-tall

錯誤を訂正。

微分方程式とのアナロジーでいうと、
　一般解 ⇔ C(x)+C(1/x)
　特解　⇔　a1*{ x-(1/x) } + a0
の和、という構造。

回答No.7

178-tall

>私も始めそう思ったんですけど、ｆが多項式とは書いていませんでした。
>別のものがあるとすると矛盾が生じないか、とか考えてはいるんですが・・・・。

tmpname さんの解説が明快。
。
微分方程式とのアナロジーでいうと、
　一般解 ⇔ C(x)+C(-x)
　特解　⇔　a1*{ x-(1/x) } + a0
の和、という構造。

回答No.6

tmpname

例えば、f(x) = sin(x) + sin(1/x) とかいうのも問題の式を満たします。というのが f(1/x) = sin(1/x) + sin(x) = f(x)となるから f(x) - f(1/x) = 0。一方、 f'(x) = cos(x) - (1/(x^2)) * cos(1/x)となるので、f'(1) = cos(1) - 1 * cos(1) = 0となって、 f'(1) * (x-1/x) = 0となって、左辺と右辺は等しくなります。

#3 に書いた通り、s(x)を任意の微分可能な関数、Aを任意の定数として、、『f(x) = s(x) + s(1/x) + A * (x-1/x)』の形をしたものは、全て問題の式を満たします。又、問題の式を満たすf(x)は、この形をしたものだけです。証明はじっくり読んで、分らないところがあれば補足に下さい。

回答No.5

178-tall

>次の関数関係をみたすもので、f(x)=ax (aは定数）以外にあるでしょうか？
>f(x)-f(1/x)=f'(1)(x-1/x)

f(x) が多項式
　a(n)x^n + a(n-1)x^(n-1) + … + a(1)x + a(0)
の場合を考えると …

　f(x)-f(1/x)
　= a(n){ x^n-(1/x^n) } + a(n-1){ x^(n-1)-[1/x^(n-1)] } + … + a(1){ x-(1/x) }
　=f'(1)(x-1/x)
が成立つのは、a(n)=a(n-1)= … a(2)=0 の場合、つまり f(x) = a(1)x + a(0) の場合のみ

… ということ？

お礼

回答ありがとうございます。
私も始めそう思ったんですけど、ｆが多項式とは書いていませんでした。
別のものがあるとすると矛盾が生じないか、とか考えてはいるんですが・・・・。

回答No.4

tmpname

最後の 「この場合 e(x) =(a/2)(x)である。 」は無視してください（回答を推敲している途中経過で出てきたもので...）

回答No.3

tmpname

恒等式 f(x) = (1/2) (f(x) + f(1/x)) + (1/2) (f(x) - f(1/x)) において、g(x) = (1/2) (f(x) + f(1/x)), h(x) = (1/2) (f(x) - f(1/x)) とおくと、f(x) = g(x) + h(x)となる。g(x), h(x) は、 g(x) = g(1/x) , h(x) = -h(1/x)を満たす。又、g(x) = s(x) + s(1/x)の形に書ける。
この時 f(x) - f(1/x) = 2 h(x)となるから、 2h(x) = (f'(1) (x-1/x) より、h(x) = (f'(1) / 2) * (x-1/x)となる。
従って、f(x) は、f(x) = s(x) + s(1/x) + h(x) , h(x) = A(x-1/x) (Aは定数）の形をしていなくてはいけない。

一方、f(x) = s(x) + s(1/x) + h(x) , h(x) = A(x-1/x) (Aは定数）の形をしているとする。この時g(x) = s(x) + s(1/x)とおくと、g(x) = s'(x) - (1/x^2) s'(1/x^2) より g'(1) = 0。一方 h'(x) = A(1 + 1/x^2)であるから h'(1) = 2Aである。
f(x) - f(1/x) を計算すると、f(x) - f(1/x) = 2A(x-1/x)である。一方 f'(1) = g'(1) + h'(1) = 2Aであるから、f'(1)(x-1/x) = 2A(x-1/x)。従ってf(x)-f(1/x)=f'(1)(x-1/x) が成立する。

よって、『f(x)は、f(x) = s(x) + s(1/x) + h(x) = A(x-1/x) (Aは定数, s(x)は任意の関数）の形にかける全ての関数』である。（この時 A=f'(1)/2 である）

例えば f(x) = ax+bの例では、s(x) = (a/2) (x) + b / 2, h(x) = (a/2) (x-1/x)である。この場合 e(x) =(a/2)(x)である。

お礼

回答ありがとうございます。
・・・証明がむつかしいです。

回答No.2

tmpname

g(x)を任意の微分可能な関数とし、f(x) = g(x) + g(1/x)とおく。
● f(x) = f(1/x) であるから f(x) - f(1/x) = 0。
● 一方、f'(x) = g'(x) - (1/(x^2)) g'(1/x) であるから、 f'(1) = g'(1) - (1/(1^2)) g'(1) = 0であるから、
f(x) - f(1/x) = 0 = f'(1) (x-1/x) を満たす。

回答No.1

f272

f(x)=ax+b (a,bは定数)

お礼

回答ありがとうございました。
定数項がついてもいいですね。なるほど。
これ以外ない、と言えるでしょうか？　ヒントだけでもお願いします。