高校数学・関数

質問

二次不等式x^2-2kx+2k^2-2≦0を満たす整数値がただ一つであるようなkの値の範囲を求めよ。

因数分解も出来ずkの値も整数とは限らず、何をしたらいいものか困っています…。
ぜひよろしくお願いします。

回答No.4

atkh404185 · ベストアンサー

y=x^2-2kx+2k^2-2

とおくと、これは、下に凸の放物線になります。

解法は、

１．y=x^2-2kx+2k^2-2 が x 軸に接する場合

２．y=x^2-2kx+2k^2-2 が x 軸と異なる２点で交わる場合

の２つに分けて考えます。

１の場合は、

接点の x 座標の値が整数であれば、そのときの k の値が解になります。

２の場合は、

２つの交点の間に、整数値がただ１つである k の値の範囲が求める範囲になります。
（放物線が異なる２点で交わることから、k の値の範囲 つまり 軸 の範囲がわかるので、
これから、整数値がわかります。この整数値をもとに、k の値の範囲を求めます。）

（解答）

y=f(x)=x^2-2kx+2k^2-2 ・・・・・・（Ａ）

とおくと、

y=f(x)=(x-k)^2+k^2-2

これは、頂点が点(k,k^2-2)、軸が 直線 x=k、の下に凸の放物線である。

(1) 放物線（Ａ）が x 軸に接するとき

k^2-2=0
k^2=2
k=±√2

このとき、接点の x 座標が ±√2 となり、これは不適

(2) 放物線（Ａ）が x 軸と異なる２点で交わるとき

k^2-2<0
(k+√2)(k-√2)<0
-√2<k<√2 ・・・・・・（ア）

-1/2<-√2<k<√2<1/2、放物線の対称性より

x^2-2kx+2k^2-2≦0

を満たす整数値は

x=-1,0,1

のいずれかである。

(i) x=-1 のとき
f(-1)<0 かつ f(0)>0
が成り立てばよい。

f(-1)<0 より
(-1)^2-2k(-1)+2k^2-2<0
1+2k+2k^2-2<0
2k^2+2k-1<0
2k^2+2k-1=0 とおくと
k=[-2±√{2^2-4×2×(-1)}]/(2×1)
=(-2±2√3)/2
=-1±√3

よって、
-1-√3<k<-1+√3 ・・・・・・（イ）

f(0)>0 より
2k^2-2>0
k^2-1>0
(k+1)(k-1)>0
k<-1,1<k ・・・・・・（ウ）

（ア）、（イ）、（ウ）より
-√2<k<-1

(ii) x=0 のとき
f(-1)>0 かつ f(0)<0 かつ f(1)>0
が成り立てばよい。

f(-1)>0 より
(-1)^2-2k(-1)+2k^2-2>0
1+2k+2k^2-2>0
2k^2+2k-1>0
k<-1-√3, -1+√3<k ・・・・・・（エ）

f(0)<0 より
2k^2-2<0
k^2-1<0
(k+1)(k-1)<0
-1<k<1 ・・・・・・（オ）

f(1)>0 より
1^2-2k×1+2k^2-2>0
1-2k+2k^2-2>0
2k^2-2k-1>0
2k^2-2k-1=0 を解くと
k=[-(-2)±√{(-2)^2-4×2×(-1)}]/2×1
=(2±2√3)/2
=1±√3

よって
k<1-√3, 1+√3<k ・・・・・・（カ）

（ア）、（エ）、（オ）、（カ）
を同時に満たす k の値は存在しない。

(iii) x=1 のとき
f(0)>0 かつ f(1)<0

f(0)>0 より
2k^2-2>0
k^2-1>0
(k+1)(k-1)>0
k<-1,1<k ・・・・・・（キ）（（ウ）です）

f(1)<0 より
1^2-2k×1+2k^2-2<0
1-2k+2k^2-2<0
2k^2-2k-1<0
1-√3<k<1+√3 ・・・・・・（ク）

（ア）、（キ）、（ク）より
1<k<√2

(i)、(ii)、(iii)より　求める k の値の範囲は
-√2<k<-1, 1<k<√2

回答No.3

tmpname

グラフを書きつつ、少しづつ絞り込んでいく。
f(x) = x^2-2kx+2k^2-2 = (x-k)^2 + (k^2 -2)は、x=kで最小値(k^2 - 2)をとり、x=kについて対称。
取り敢えず、f(k)≦0でないと話にならないけど、f(k)=0だとk=±√2で、kは整数でないからf(x)≦0を満たす整数kは一つも無い。よって、先ずf(k)<0で-√2 < k < √2。

次に、f(k-1) = f(k + 1) = k^2 - 1 ≦0だと、[k-1,k+1]の間でf(x) ≦0だけど、[k-1, k), [k, k+1)の間に整数は2つあるから、この場合少なくともf(x)≦0を満す整数は2つあることになってしまうので、f(k-1) = f(k+1) > 0で、
k < -1 又は k > 1。

従って、 -√2 < k < -1の場合と1<k<√2の場合と2通りあるが、どちらも議論はほぼ同じなので1<k<√2の場合を見てみる。
今、f(k-1) > 0, f(k) < 0, f(k+1) > 0で、[k-1, k+1] に含まれる整数は1と2だけ。(0< k -1 < √2 - 1 < 0.5, 2 < k < √2 +1 < 2.5で、1と2は 必ず含まれるけど、それ以外は含まれない）。ここで、今の場合 1と2とでkに近いのは1
(|k-1| < √2 - 1, 一方|2-k| > 2-√2)なので、f(2) ≦ 0ならf(1)≦0となってしまうから、考えられるのはf(2)>0かつf(1)≦0の場合である。この場合、x=1がf(x)≦0の唯一の整数解となる。
従って、（1<k<√2かつ）f(2)>0かつf(1)≦0というのを解けばよい。

-√2 < k < -1の場合も同様。

回答No.2

gohtraw

f(x)=x^2-2kx+2k^2-2　とすると、
問題の不等式が成り立つということは二次方程式f(x)=0が
実数解を持つということです。
f(x)=(x-k)^2+k^2-2=0　より
(x-k)^2=2-k^2
よってf(x)=0が実数解をもつ条件は　2-k^2>=0　つまり　-√2<=k<=√2　・・・（あ）
　この範囲でkが色々変化するときに放物線y=f(x)がどういう範囲で動くかを
考えると、x^2-2kx+2k^2-2≦0を満たす整数値の候補は-1,0,1の三つです。
もし、求める整数値が-1だとすると、f(-1)<=0　かつ　f(0)>0　・・・（い）
求める整数値が0だとするとf(0)<=0　かつ　f(-1)>0、かつf(1)>0　・・・（う）
求める整数値が１だとするとf(1)<=0　かつ　f(0)>0　・・・（え）

よって求める条件は
（あ）　かつ　（（い）または（う）または（え））
ということになると思います。

回答No.1

shintaro-2

x^2-2kx+2k^2-2=0として、まずは解いてください。

その時、Xが整数であるという条件からｋの範囲を決められるでしょう。