積分

質問

∫∫∫2zdxdydz

積分範囲
x^2+y^2≦1
0≦z≦1+x

この問題の円筒座標変換の解き方を教えて下さい。
普通に解くと、
5π/8になりました。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

>普通に解くと、
>5π/8になりました。
この結果は間違いのようです。
計算が書いてくれてないので間違い箇所がチェックできません。
当方の計算では「5π/4」になりました。

円柱座標変換による積分
I=∫∫∫[x^2+y^2≦1,0≦z≦1+x] 2zdxdydz
円柱座標変換すると
x=r cos(t), y=r sin(t), z=z (θ=tとおく)
ヤコビアン|J|=r
積分領域E={(r,t,z)|0≦r≦1, -π≦t≦π, 0≦z≦1+rcos(t)}
より
I=∫∫∫ [E] 2z r drdtdz
=∫[-π,π] dt ∫[0,1] r dr ∫[0,1+r cos(t)] 2z dz
=∫[-π,π] dt ∫[0,1] r dr [z^2][0,1+r cos(t)]
=∫[-π,π] dt ∫[0,1] r (1+r cos(t))^2 dr
=∫[-π,π] dt ∫[0,1] (r+2r^2 cos(t)+r^3 (cos(t))^2) dr
=∫[-π,π] [1/2+2cos(t)/3+(cos(t))^2/4] dt
=2∫[0,π] [1/2+2cos(t)/3+(cos(t))^2/4] dt
=(1/4)∫[0,π] [4+(16/3)cos(t)+2(cos(t))^2] dt
=(1/4) (4π+0+π)
=5π/4 ... (答)

補足

回答ありがとうございます。
変数変換せずに解いて見ました。
間違えてる点を教えていただけないでしょうか？
∫∫∫2zdxdydz

積分範囲
x^2+y^2≦1
0≦z≦1+xより

0≦z≦1+x
-√(1-y^2)≦x≦√(1-y^2)
0≦y≦1

∫∫∫2zdxdydz=∫∫(x^2+2x1)dxdy
=∫{(1-y^2)√(1-y^2)/3+(1-y^2)+-√(1-y^2)+(1-y^2)√(1-y^2)/3+(1-y^2)-√(1-y^2)}dy
=2/3∫(1-y^2)√(1-y^2)dy+2∫√(1-y^2)dy
=5/8π

回答No.2

info222_

No.1です。

ANo.1の補足の質問について
>0≦z≦1+x
>-√(1-y^2)≦x≦√(1-y^2)

>0≦y≦1
このyの範囲は、問題で要求されているyの範囲ではありません。
この積分の積分範囲でのyの範囲は「-1≦y≦1」です。
「0≦y≦1」では求める積分範囲におけるyの積分範囲の1/2の範囲しか積分しか積分していないことになります。

なので
>∫∫∫2zdxdydz=∫∫(x^2+2x1)dxdy ←間違い(2x1)。積分範囲も書くこと。
これ↑は
∫∫∫[D] 2zdxdydz, D={(x,y,z)|x^2+y^2≦1,0≦z≦1+x}
=∫∫[D1] dxdy ∫[0,1+x] 2zdz, D1={(x,y)|x^2+y^2≦1}
=∫∫[D1] dxdy [z^2] [0,1+x]
=∫∫[D1] (1+x)^2 dxdy=∫∫[D1] (x^2+2x+1)dx
です。
=∫[-1,1] dy ∫ [-√(1-y^2), √(1-y^2)] (x^2+2x+1)dx
>=∫{(1-y^2)√(1-y^2)/3+(1-y^2)+-√(1-y^2)+(1-y^2)√(1-y^2)/3+(1-y^2)-√(1-y^2)}dy ←間違い
↑ 積分範囲を書く。
=∫∫[-1,1] {(1-y^2)√(1-y^2)/3+(1-y^2)+√(1-y^2)+(1-y^2)√(1-y^2)/3-(1-y^2)+√(1-y^2)}dy
=∫∫[-1,1] {2(1-y^2)√(1-y^2)/3+2√(1-y^2)}dy
>=2/3∫ (1-y^2)√(1-y^2)dy+2∫√(1-y^2)dy
↑ 積分範囲を書く。y:[-1,1]
=(2/3)∫[-1,1] (1-y^2)√(1-y^2)dy+2∫[-1,1] √(1-y^2)dy
>=5/8π ←間違い
=(4/3)∫[0,1] (1-y^2)^(3/2) dy+4∫[0,1] (1-y^2)^(1/2) dy
=(4/3)[(3/8)arcsin(y)+(y/4)(1-y^2)^(3/2)+(3y/8)(1-y^2)^(1/2)][0,1]
+2[arcsin(y)+y(1-y^2)^(1/2)][0,1]
=(π/4)+π
=5π/4 ... (正答)

お礼

分かりやすい解説ありがとうございます。
疑問点を解決することができました。