数学問題です。

質問

数学問題です。
どうやってときますか？

回答No.2

atkh404185 · ベストアンサー

数学的帰納法を使って証明します。

　　1 + 1/√2 + 1/√3 +・・・・・・+ 1/√n < 2√n　　・・・・・・（Ａ）

(I)　n=1 のとき

　　左辺=1

　　右辺=2√1 =2

　よって、

　　左辺 < 右辺

　したがって、 n=1 のとき（Ａ）は成り立つ。

(II)　n=k のとき（Ａ）が成り立つと仮定すると

　　1 + 1/√2 + 1/√3 + ・・・・・・ + 1/√k < 2√k　　・・・・・・（Ｂ）

　このとき、 n=k+1 について考える。

　Ｂの両辺に 1/√k+1 を加えて

　　1 + 1/√2 + 1/√3 + ・・・・・・ + 1/√k + 1/√(k+1) < 2√k + 1/√(k+1)　・・・・・・（Ｃ）

　ここで、

　　2√(k+1) -(2√k + 1/√(k+1))

　={2(k+1)-(2√k√(k+1) + 1)}/√(k+1)

　=(2k + 2 - 2√k√(k+1) - 1)/√(k+1)

　=(2k + 1 - 2√k√(k+1))/√(k+1)

　={(k+1) - 2√k√(k+1) + k)/√(k+1)

　=( √(k+1) - √k )^2/√(k+1)>=0

　　なぜなら　( √(k+1) - √k )^2>=0, √k+1 >0 だから

　よって、

　　2√k + 1/√(k+1) < 2√(k+1)　・・・・・・（Ｄ）

（Ｃ），（Ｄ）より

　　1 + 1/√2 + 1/√3 + ・・・・・・ + 1/√k + 1/√(k+1) < 2√(k+1)

　したがって、 n=k+1 のときにも（Ａ）は成り立つ。

(I)，(II)よりすべての自然数 n について（Ａ）は成り立つ。

（証明終わり）

数学的帰納法を使った証明

まず、

(I)　n=1 のとき成り立つことを証明する。

次に、

(II)　n=k のとき成り立つと仮定して、 n=k+1 のとき成り立つことを証明する。

この２つが証明できればよい。

(II)は

証明したい式は　（Ａ）に n=k+1 を代入した

　　1 + 1/√2 + 1/√3 + ・・・・・・ + 1/√k + 1/√(k+1) < 2√(k+1)　・・・・・・（Ｘ）

であり、とりあえず、この式の左辺の式は

n=k のとき成り立つと仮定した（Ｂ）の両辺に 1/√(k+1) を加えることによって作れる。

　→（Ｃ）の左辺

あとは、

（（Ｃ）の右辺）<（（Ｘ）の右辺）（←（Ｄ）が成り立つこと）

を証明すればよい。つまり、

（（Ｘ）の右辺）-（（Ｃ）の右辺）> 0

を証明すればよい。

これが証明できれば

（（Ｘ）の左辺）<（（Ｃ）の右辺）< （（Ｘ）の右辺）

となり、（Ｘ）が証明できる。

ことになります。

これがわかりにくければ

Ｐ＜Ｑ の証明

ＰとＱの大小関係を直接証明できないときに、間にＲという式を利用する。

まず、Ｐ＜Ｒ が成り立つことを証明する。

次に、Ｒ＜Ｑ　が成り立つことを証明する。

この２つの不等式から

Ｐ＜Ｒ＜Ｑ

が成り立つ。

つまり、

Ｐ＜Ｑ　が成り立つ。

この場合、

Ｐが　（Ｘ）の左辺　もしくは（Ｃ）の左辺

　　　　1 + 1/√2 + 1/√3 + ・・・・・・ + 1/√k + 1/√(k+1)

になり

Ｑが　（Ｘ）の右辺　2√(k+1)

になり

Ｒが　（Ｃ）の左辺　2√k + 1/√(k+1)　

になります。

回答No.3

bran111

級数の和を積分に置き換えて計算します。

y=1/√x=x^(-1/2)

について、0≦x≦1の変域をn分割し、分点x=1/n,2/n,3/n.....n/nにおける

yの値1/√(1/n),1/√(2/n),.....1/√(n/n)=√n/√1,√n/√2,√n/√3.......,√n/√nを高さとし、

幅を1/ｎとする短冊の面積の合計S1は曲線y=1/√xとｘ軸の間（0≦ｘ≦1）の面積Ｓ2より小さい。(グラフを正しく書いて確認してください)

S1<S2

S1=Σ(k=1,n)(√n/√k)(1/n)=(1/√n)Σ(k=1,n)(1/√k)

Ｓ2=lim(ε→0)∫(ε,1)(1/√x)dx=lim(ε→0)[2x^(1/2)](ε,1)=lim(ε→0)(2-2√ε)=2

すなわち

(1/√n)Σ(k=1,n)(1/√k)<2

Σ(k=1,n)(1/√k)<2√n

q.e.d

回答No.1

jusimatsu

どうしろと？