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>1/2+2/2^2+3/2^3+・・・・・・+k/2^k+(k+1)/2^(k+1) = 2-(k+2)/2^k+(k+1)/2^(k+1) >ここがなぜこうなるか分かりません。 これぞ「数学的帰納法」の手です…。 1/2+2/2^2+3/2^3+・・・・・・+k/2^k = 2 - (k+2)/2^k が正しいとして、それに (k+1)/2^(k+1) を加えたのが右辺の 2 - (k+2)/2^k + (k+1)/2^(k+1) これを整形すれば、 2 - {(k+1)+2}/2^(k+1) … (S) 題意は、 S(n) = 2 - (n+2)/2^n 整形結果 (S) は S(k+1) になってますよネ
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- atkh404185
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すみません。 訂正・追加です。 実際に書くのではなく、頭の中で ・・・・・・ ・・・・・・ ・・・・・・ のようにイメージして下さい。 の部分です。 実際の書くのではなく、頭の中で 1/2+2/2^2+3/2^3+・・・・・・+k/2^k+(k+1)/2^(k+1) ☆ （← n=k+1 のときの左辺） =（ n=k のときの左辺 ）+(k+1)/2^(k+1) =（ n=k のときの右辺 ）+(k+1)/2^(k+1) =2-(k+2)/2^k+(k+1)/2^(k+1) ☆ (この行がまちがっていました) のようにイメージしてみて下さい。（☆ 印 の行が実際にノートに書く式です） 以下の式変形は =2-[2(k+2)-(k+1)}/2^(k+1) =2-(2k+4-k-1)/2^(k+1) =2-(k+3)/2^(k+1) =2-{(k+1)+2}/2^(k+1) (← n=k+1 のときの右辺) です。
- atkh404185
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1/2+2/2^2+3/2^3+・・・・・・+k/2^k+(k+1)/2^(k+1) =2-(k+2)/2^k+(k+1)/2^(k+1) となるのは n=k のとき成り立つと仮定した式 1/2+2/2^2+3/2^3+・・・・・・・+k/2^k=2-(k+2)/2^k を使って式変形しています。 1/2+2/2^2+3/2^3+・・・・・・+k/2^k+(k+1)/2^(k+1) の式で 1/2+2/2^2+3/2^3+・・・・・・+k/2^k の部分が n=k のときの左辺の式になります。 だから、この部分を n=k のときの右辺の式に変形できて 2-(k+2)/2^(k+1)+(k+1)/2^(k+1) となります。 実際に書くのではなく、頭の中で 1/2+2/2^2+3/2^3+・・・・・・+k/2^k+(k+1)/2^(k+1) =（ n=k のときの左辺 ）+(k+1)/2^(k+1) =（ n=k のときの右辺 ）+(k+1)/2^(k+1) =2-(k+2)/2^(k+1)+(k+1)/2^(k+1) のようにイメージしてみて下さい。 もう１つの方法は、 n=k のとき成り立つと仮定した式 1/2+2/2^2+3/2^3+・・・・・・・+k/2^k=2-(k+2)/2^k の両辺に (k+1)/2^(k+1) を加えてもよいです。 これは、n=k のときの仮定した式が 1/2+2/2^2+3/2^3+・・・・・・・+k/2^k=2-(k+2)/2^k ・・・・・・（Ｐ） であり、証明したい式が n=k+1 のときの式 1/2+2/2^2+3/2^3+・・・・・・・+k/2^k+(k+1)/2^(k+1)=2-{(k+1)+2}/2^(k+1) ・・・・・・（Ｑ） であり、（Ｐ）の左辺と（Ｑ）の左辺を比べると （Ｐ）の左辺に (k+1)/2^(k+1) を加えると、（Ｑ）の左辺になることに気が付けば、 (II) のときの証明方法は 1/2+2/2^2+3/2^3+・・・・・・+n/2^n=2-(n+2)/2^n ・・・・・・（Ａ） (II) n=k のとき（Ａ）が成り立つとすると 1/2+2/2^2+3/2^3+・・・・・・・+k/2^k=2-(k+2)/2^k 両辺に (k+1)/2^(k+1) を加えて 1/2+2/2^2+3/2^3+・・・・・・+k/2^k+(k+1)/2^(k+1)=2-(k+2)/2^k+(k+1)/2^(k+1) （と同じ式が作れ、あとは、この等式の右辺を式変形していきます。） =2-2(k+2)/2^(k+1)+(k+1)/2^(k+1) =2-{2(k+2)-(k+1)/2^(k+1) =2-(2k+4-k-1)/2^(k+1) =2-(k+3)/2^(k+1) =2-{(k+1)+2}/2^(k+1) よって、 n=k+1 のときも（Ａ）が成り立つ。 のように証明できます。 また、質問があればどうぞ。
- atkh404185
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1/2+2/2^2+3/2^3+・・・・・・+n/2^2=2-(n+2)/2^n ・・・・・・（Ａ） (I) n=1 のとき 左辺=1/2 右辺=2-(1+2)/2=2-3/2=1/2 よって、 左辺=右辺 したがって、 n=1 のとき（Ａ）は成り立つ。 (II) n=k のとき（Ａ）が成り立つと仮定すると 1/2+2/2^2+3/2^3+・・・・・・+k/2^k=2-(k+2)/2^k このとき、 n=k+1 のときを考える。 1/2+2/2^2+3/2^3+・・・・・・+k/2^k+(k+1)/2^(k+1) =2-(k+2)/2^k+(k+1)/2^(k+1) =2-2(k+2)2^(k+1)+(k+1)/2^(k+1) =2-{2(k+2)-(k+1)}/2^(k+1) =2-(2k+4-k-1)/2^(k+1) =2-(k+3)/2^(k+1) （ ← ここまででもよいと思います） =2-{(k+1)+2}/2^(k+1) よって、 n=k+1 のときも（Ａ）は成り立つ。 (I)，(II)より すべての自然数 n について（Ａ）は成り立つ。・・・・・・（証明終わり） 数学的帰納法を使った証明ですが、 まず、 (I) n=1 のとき成り立つ ことを証明する。 次に、 （II) n=k のとき成り立つと仮定して、 n=k+1 のときにも成り立つ ことを証明する。 この(I)、(II)ができればよいです。 (II)の証明の方法をしっかりと身に着けてください。 n=k のとき（Ａ）が成り立つと仮定すると 1/2+2/2^2+3/2^3+・・・・・・+k/2^k=2-(k+2)/2^k ・・・・・・（Ｂ） ですね。 このとき、 n=k+1 のときも（Ａ）が成り立つことを証明します。 つまり （Ａ）に n=k+1 を代入した 1/2+2/2^2+3/2^3+・・・・・・+k/2^k+(k+1)/2^(k+1)=2-{(k+1)+2}/2^(k+1) が成り立つことを証明します。 証明の方法は 左辺 を式変形して 右辺 になればよいのです。 まず、 n=k+1 のときの左辺を書いて 1/2+2/2^2+3/2^3+・・・・・・+k/2^k+(k+1)/2^(k+1) ～～～～～～～～～～～～～～～ （Ｂ）の左辺 ↓（Ｂ）を使って式変形 ↓ =2-(k+2)/2^k+(k+1)/2^(k+1) ～～～～～ （Ｂ）の右辺 ↓ 通分する =2-2(k+2)2^(k+1)+(k+1)/2^(k+1) ↓ １つにまとめて計算（式変形）していく =2-{2(k+2)-(k+1)}/2^(k+1) =2-(2k+4-k-1)/2^(k+1) =2-(k+3)/2^(k+1) =2-{(k+1)+2}/2^(k+1) （ ← n=k+1 のときの右辺になった ）
- trytobe
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n=1 のときは、n/(2^n) = 2- {(n+2)/(2^n)} = 1/2 で成立。 n のときに Σ n/(2^n) = 2- {(n+2)/(2^n)} が成立するとして、n+1 のときを考えると、 Σ n/(2^n) = 2- {(n+2)/(2^n)} に (n+1)/{2^(n+1)} を足したものだから、右辺は、 2- {(n+2)/(2^n)} ＋ (n+1)/{2^(n+1)} ＝ 2- (2n+4)/{2^(n+1)} ＋ (n+1)/{2^(n+1)} ＝ 2- (n+3)/{2^(n+1)} ＝ 2- {(n+1)+2}/{2^(n+1)} となり、n で成り立てば、n+1 でも成り立つ。 だから、n=1 でなりたてば、n が１ずつどれだけ増えても、この等式は成り立つ。
お礼
すみません、このアプリの使い方がよく分かってなくてお礼ではなくまた質問になるのですが、 1/2+2/2^2+3/2^3+・・・・・・+k/2^k+(k+1)/2^(k+1) =2-(k+2)/2^k+(k+1)/2^(k+1) ここがなぜこうなるか分かりません。 解説していただきたいです。