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6枚の白紙の札を横1列に並べ、左から順に1から6
6枚の白紙の札を横1列に並べ、左から順に1から6の番号をつける。 1個のさいころを投げ、出た目の番号の札を裏返す ( すでに裏だったときは表にする ) という操作を繰り返す。 すべて表の状態から操作を3回行ったとき、裏の札が1枚になる確率は□である。 ーーーーーーーーーーーーーー という問題が分かりません。 解答を見ると場合分けで解いていて、 裏の札が1枚になるのは、 ( i )3回とも同じ目が出る ( ii )2種類の目が出る のいずれか。 ( i )のときは 6 (通り) ( ii )のときは 6C2 × 2 × 3!/2! = 90 (通り) と解答には書いてあり、 ( i )はなんとか自力で出せたのですが、 ( ii )がどうしても分かりません。 "6C2" "2" "3!/2!" とは、それぞれ何を表しているのでしょうか？ 回答お願いいたします。
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- bamboo008
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aの目が2回，bの目が1回出るとします。 a,bの選び方 6P2 通り（上の解答では，6C2×2 通りと数えている） a が何回目に出たか 3C2 通り（上の解答では，3!/2! 通りと数えている） ゆえに， 6P2×3C2 通り とした方が良いですね。
1個のさいころを3回投げたときの目の出方は、次の3通り （i）3回とも同じ目が出る （ii）2種類の目が出る （iii）3回とも異なる目が出る このうち、（iii）の場合には、裏の札が3枚になるので除外 （i）3回とも同じ目が出る 1の目が3回出る場合から6の目が3回出る場合までの6通り （ii）2種類の目が出る 1～6の目の中から、重複を除いて2種類の目の出方は、 1の目が出る場合は、1－2、1－3、1－4、1ー5、1－6の5通り 2の目が出る場合は、2－3、2－4、2－5、2ー6の4通り 3の目が出る場合は、3－4、3－5、3－6の3通り 4の目が出る場合は、4－5、4－6の2通り 5の目が出る場合は、5－6の1通り これらの合計は、5+4+3+2+1=15通り これが、 6C2 になる 1－2の目が出る場合、3回中1の目が2回（2の目が1回）出る出方は、3C2=3C1=3通り 1－2の目が出る場合、3回中1の目が1回（2の目が2回）出る出方は、3C1=3C2=3通り （2回目が出た方は、裏返った後で、また表に戻る。） これが、3C2（または3C1）×2（上の2通り）=3!/｛2!（3－2）!｝×2=3!/2!×2=6通りになる よって、この場合には、6C2×3!/2!×2=90通りになる なお、3!/2!は、3C2（または3C1）と表記した方が分かりやすいかと思われる また、×2は式の最後にすべきである 例えば、1個100円のものを5個買ったときの合計金額は、100×5=500円とすべきであって、 5×100=500円としたのでは、答えは正しくても式は誤りである
- atkh404185
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はじめの札の状態は 裏は０枚 ですね。 ３回行ったとき、裏の枚数を考えると、 （ア） ０ → １ → ２ → ３ （イ） ０ → １ → ２ → １ （ウ） ０ → １ → ０ → １ の３通りあります。 １回行うごとに、裏の枚数が１枚増えるか、減るかのどちらか だからです。 ０枚のときは１枚増えるしかないですね。 このうち、裏が１枚になるのは （イ）の場合と（ウ）の場合になります。 （ウ）の場合は、質問にある (i) ３回とも同じ目が出る 場合であり、これは ６通り （イ）の場合は、質問にある (ii) ２種類の目が出る 場合です。 この場合の数の求め方は、 まず、 さいころの目の出方は１～６の６個ある。 ２種類の目が出ることから、この６個の中から２個を選ぶことになるから 6Ｃ2 通り ・・・・・・（Ｘ） になります。 （組合せ） n 個のものの中から異なる r 個のものを取り出して作る組合せを n 個から r 個とる組合せといい、その総数を nＣr で表します。 次に、出る２種類の目が決まれば、（この２種類の目をＡ、Ｂとします。） さいころを３回投げるので、どちらかの目が２回出ることになります。 (1) Ａの目が２回出る。（Ｂは１回出る） (2) Ｂの目が２回出る。（Ａは１回出る） この場合が ２ 通り ・・・・・・（Ｙ） になります。 最後に、それぞれの目の出る順番を考えます。 (1)は Ａ，Ａ，Ｂ を一列に並べる。 (2)は Ａ，Ｂ，Ｂ を一列に並べる。 ことになります。 (1)、(2)は同じ数になります。 この場合の数が 3 !/2 !1 ! 通り ・・・・・・（Ｚ） （← 公式どおりに当てはめて・・・ 1! を書かない(省略する)人もいます。この場合 3 !/2 ! です） になります。 （同じものを含む順列） n 個のうち、同じものがそれぞれ p 個、q 個、r 個、・・・・・・ あるとき、これら n 個を一列に並べる順列（場合の数）は n !/p !q !r !・・・・・・ ただし、 p+q+r+ ・・・・・・ =n ↑↑↑ 具体例で、a,a,a,a,b,b,b,c,c の９文字を一列に並べる並べ方は 9 !/4 !3 !2! になります。 （← a が 4 個、b が 3 個、c が 2 個） 以上、（Ｘ），（Ｙ），（Ｚ）より 6Ｃ2×2×3 !/2 !=6・5/2・1×2×3・2・1/2・1=90 （通り） になります。 （補足）Ａ，Ａ，Ｂ を一列に並べる場合 １つの文字であるＢの並べ方を考えればすぐに ３ 通りであることがわかると思います。 ＡＡＢ、ＡＢＡ、ＢＡＡ の３通り （Ｂが３番目に並ぶ、2番目に並ぶ、１番目に並ぶ） だから 6Ｃ2×2×3=6・5/2・1×2×3=90 （通り） と式を書いて計算してもよいです。
