東大数学２００４【６】

質問

[6]　片面を白色に、もう片面を黒色に塗った正方形の板が3枚ある。この3枚の板を机の上に横に並べ、次の操作を繰り返し行う。

さいころを振り、出た目が1，2であれば左端の板を裏返し、3，4であればまん中の板を裏返し、5，6であれば右端の板を裏返す。
たとえば、最初、板の表の色の並び方が「白白白」であったとし、1回目の操作で出たさいころの目が1であれば、色の並び方は「黒白白」となる。さらに2回目の操作を行って出たさいころの目が5であれば、色の並び方は「黒白黒」となる。

(2) 「白白白」から始めて、n回の操作の結果、色の並び方が「白白白」または「白黒白」となる確率を求めよ。
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(私の答え)
「白白白」の場合は　n=2m(偶数)・・・(I)
「白黒白」の場合は　n=2m-1(奇数)・・・(II)　　　とおける。

ここで(I)から検討することにする。
「白白白」になる確率をP(m)とすると
Ｐ(1)=1/3　　Ｐ(m+1)=P(m)/3 なので
P(m)=(1/3)^n　　　　　　　　　　　　　　　　・・・(あ)

また(II)の場合は「白白白」の状態から、サイコロ３または４が出ればいいから
「白黒白」になる確立をP'(m)とすると
(あ)×(1/3)になる。

∴偶数のとき　(1/3)^n　
奇数のとき　　(1/3)^(n+1)

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因みにこれは、間違っています。
何が矛盾しているのでしょうか。

教えて下さい。

回答No.2

zonapon

回答を観ていないので、絶対に正解とは言えませんが、私はこういう結果が出ました。

奇数回の時に白黒白が出る確率をは{(3^n -3)/4+1}/3^nであるから、
確率P(Ａo)=(3^n+1)/4*3^n
偶数回の時に白白白が出る確率は{(3^n -1)/4+1}/3^nであるから
確率P(Ａe)=(3^(n+1)/4*3^n

【本題】
n=1で数式が合っていたとしても、n=3で異なることは良くあります。

奇数の時に「白黒白」偶数の時に「白白白」が出るというところは良い着眼点だと思います。
ただし、奇数と偶数を数式に変換したことによって、ややこしくなった感もあります。
行き詰った時は確率の大原則
P(A)=（あることが起こる場合の数）÷（起こり得るすべての場合の数）を思い出して、実際に表を作ってみるのも手です。
サイコロ５回目くらいには数式が見えてくるかもしれません。

【余談】
こういう問題ってやはり慣れですよね。
私も苦労しました。

お礼

さすがです！ありがとうございます！

回答No.1

noname#158987

確率あんまり得意じゃないんで厳密には解きませんが、
粗は探しました。

（前半の粗）
Ｐ(m+1)=P(m)/3
はまちがってますね。最終状態が白白白であればいいので、
途中は裏返った板がすぐに裏返される必要はないと思いますよ。
たとえばn=4のとき
白白白→白黒白→白黒黒→白白黒→白白白
とかもあっていいんですよ。
最初に書かれた式Ｐ(m+1)=P(m)/3は
白白白からいったんどれか（白白黒、白黒白、黒白白）を経由して白白白
のパターンしか考えてないですよ。
もっと前からたとえばP(m-1)やP(m-2)とかからP(m+1)までの
ルートなども考えないといけないと思いますよ。

もう少し具体的な数字でしかも小さい数字で実験してみて、感じをつかんでから
一般化してみてはどうですか？

（後半の粗）
＞また(II)の場合は「白白白」の状態から、サイコロ３または４が出ればいいから
＞「白黒白」になる確立をP'(m)とすると
＞(あ)×(1/3)になる。
これも間違いです。「白黒白」になる手前が「白白白」とは限らないです。
たとえば「白黒黒」から５，６が出て「白黒白」になるパターンとかもあるでしょ？

お礼

確かに！！！

自分で気付くべきでした。

ありがとうございます。