色付き札の確率問題

質問

ネットで確率の問題を検索していたら、以下の問題の解答が ２/３とありました。
１/２の間違いではないでしょうか。

「問題」
次のような札が１枚ずつある．
２面とも赤，２面とも黒，１面が赤で１面が黒
これから１枚をでたらめに取り出して置く．
表が赤であった．
裏も赤である確率はいくらか.

「解答」
赤い面が３つあり，裏も赤いのは２つあるから，確率は２/３である．

上の解答も意味不明です。

回答No.2

f272 · ベストアンサー

「解答」に書いてある通りです。もう少し丁寧に言えば

> ２面とも赤，２面とも黒，１面が赤で１面が黒
> これから１枚をでたらめに取り出して置く．

このとき，表に出ている色は
(1-1)赤
(1-2)赤
(2-1)黒
(2-2)黒
(3-1)赤
(3-2)黒
の6通りであって，これらは同様に確からしく，それぞれ確率は1/6です。

> 表が赤であった．

ということから
(1-1)赤
(1-2)赤
(3-1)赤
の可能性だけが残ります。このうち裏も赤であるのは
(1-1)赤
(1-2)赤
ですから，その確率は2/3ですね。

お礼

回答を、ありがとうございます。

しかし、問題に副って次のように考えることができます。

問題の３枚の札のうち（黒，黒）札を排除します。
そして、残りの２枚の札を、赤の面を表にして並べます。
その後 この２枚を裏返すと、間違いなく一方は赤で他方は黒です。
この考え方は、この問題の解き方と同じだと思います。
つまり、答えは１/２ではないでしょうか。

補足

皆さんからの説明で、私の質問の答えが２/３であることが理解できました。

NO.2の回答を頂いた「f272さん」から、「同様に確からしい」の重要性を再確認させてもらいましたので、ベストアンサーとさせていただきます。ありがとうございました。

回答No.6

Ishiwara

２/３が正解です。しかし、ネットの「解答理由」もずいぶん粗雑ですね。

モンテカルロ法という実験をすると、納得できます。実際にカードを作り、やってみるのです。
それぞれのカード面の隅に１～６と書いておき、実験過程を全部記録します。数十回やったら、度数を数えます。

実験をやってみなくても
カードＡ：１と２が赤
カードＢ：３が赤で４が黒
カードＣ：５と６が黒
とすると、
最初に赤が出た場合について
１→２（ウラも赤）
２→１（ウラも赤）
３→４（ウラは黒）
の各場合が、ほぼ同じ回数出現することが理解できます。

G. Gamov "Pazzle Math"（翻訳書：ガモフ 「数は魔術師」）に載っている古典的な問題です。
ガモフは「ビッグバン学説」を唱えた物理学者です。

お礼

回答を、ありがとうございます。

感覚と理論が合わないときは、実際にシミュレーションをやってみるのも手ですね。
昔、やってみたが 回数が多すぎて途中でめげた経験があります。

回答No.5

yespanyong

No.3です。

＞結論を書いて欲しいです。
とのことですので、まず結論を書きます。

正答は2/3です。
1/2というのは明確に誤りです。

理由はNo.3で書いた通りですが、注意すべき点は表が赤になる場合の数は2通りではなくて3通りだということです。

＞問題の３枚の札のうち（黒，黒）札を排除します。
＞そして、残りの２枚の札を、赤の面を表にして並べます。
この時点で(赤/黒)の札を並べるときにどちらの面が赤かを確かめてから並べることになるので、問題文にある「でたらめに」取り出すという行為と同一視することはできません。

お礼

回答を、ありがとうございます。

うーん、確率がこんなに分ったようで分らないものとは思わなかった。

回答No.4

FEX2053

>問題の３枚の札のうち（黒，黒）札を排除します。
>そして、残りの２枚の札を、赤の面を表にして並べます。
>その後 この２枚を裏返すと、間違いなく一方は赤で他方は黒です。

なるほど、そう考えちゃうんですね。

数学はきっちり定義された事象を前提に考えます。この場合「どちらが表か」定義されてないので、カードは「表向き」「裏向き」が同じ確率で発生します。すなわち私の言う「赤A/赤B」のカードは「赤A」で出る場合と「赤B」で出る場合、２つある、と考えるのです。

ココが実に微妙な所なんですが、問題が「表が赤で裏も赤のカードが1枚、表が黒で裏が黒のカードが1枚、表が赤で裏が黒のカードが1枚ある。この3枚のカードから任意の1枚を引き、その"表"が赤の場合、裏が赤である確率は？」と聞かれれば確かに1/2なんですけどね。

確率の話では有名な「モンティ・ホール問題」と言う話があります。詳細はURLを読んで頂ければ分かるのですが（つか、分からないかも。私もこの問題を理解するのに、大学時代かなり時間が掛りました）、ほんのちょっとした前提条件が変わるだけで、確率はガラッと変わってしまうんですよ。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%BB%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%AB%E5%95%8F%E9%A1%8C

>この考え方は、この問題の解き方と同じだと思います。

ということで、解き方は全然違います。

お礼

回答を、ありがとうございます。
あれ？NO.1の回答で１/２に賛同してくれたFEX2053さんですよね？？？

ご紹介の「モンティ・ホール問題」は平成教育学院で観ました。
その時の解説は納得できました。

今回の回答に、「実に微妙な」とか「ほんのちょっとした」とか、数学にふさわしくない言葉が出てきますね。
うーん、こんな簡単そうに見える問題でも、確率は思った以上に複雑で難しいです。
残念ながら、回答の大勢は２/３になってきてますね。

回答No.3

yespanyong

札が全部で３枚あって、それぞれ表と裏があるので、全部の面の数は６面です。
そのうち黒い面が全部で３面、赤い面が全部で３面です。

３つの赤い面の全部について、裏面が何色かをカウントしていけば間違うことはありません。

お礼

回答を、ありがとうございます。

ただ、結局はどちらとお考えなのか、結論を書いて欲しいです。

回答No.1

FEX2053

引っ掛かりそうですが、「表は赤であった」という所まで話が進んでいますので、「表が黒」のカードは除外して考えるんです。すなわち「黒A／黒B」のカードでは始めからあり得ない、ってことなんですね。

とすると、引いたカードは「赤A／赤B」のどちらかの面か、「赤A／黒B」の赤い面、しかないです。で、引いたカードが赤なんですから、これは「赤A／赤B」のA面、B面、「赤A/黒B」のA面しかあり得ないわけで、裏は「赤A／赤B」の反対面＝赤である場合２つと、「赤A／黒B」の黒である場合１つになります。

これが、「任意の1枚の裏が赤である確率」ということになると、質問者さんの考える通り「1/2」になります。

お礼

回答を、ありがとうございます。

ですよね。