Maxwell分布をする任意の２分子の相対速度

質問

Maxwell速度分布をしている気体の中から任意に二つの分子を取り出すとき、その相対速度の２乗平均は一個の分子の速度の２乗平均の２倍になるらしいのですがなぜでしょうか？
完全にお手上げです（×＿×）

回答No.2

zuyun · ベストアンサー

Maxwell速度分布している気体は、
・特定座標方向の速度分布は正規分布(平均 0、分散 kT/m)です。　… (1)
・分子の並進エネルギー (1/2)mv^2 の平均は (3/2)kT です。　… (2)
さて、取り出した2分子の特定座標方向の速度をu1, u2とすると、(u1-u2)の分布は平均 0、分散 2kT/m の正規分布となります。なぜなら、「正規分布する独立した2変数の和の分布は、同じく正規分布で平均と分散はそれぞれの和」となるからです。(これでは(u1+u2)の分布の説明をしているように聞こえますが、uの分布は左右対称なので同じことです。)　
すると、(1)において「T」を「2T」に置き換えたのと同じであることから、温度を2倍にした時の速度分布を考えているのと同じであることに気づきます。
(2)より、速度の二乗の平均はTに比例することから、これが2倍になると分かります。

お礼

回答ありがとうございます。
なんとなくですが・・・考え方はわかりました。

回答No.4

noname#108554

理想気体は分子間相互作用は無視している(位置に相関がない)ので、
1自由度あたりkT/2ずつエネルギーが渡されます。
単原子分子なら3自由度なので1粒子あたり3*kT/2のエネルギーをもちます。

この問題の場合は、2つの分子の自由度を話題にしているので
さらに倍になります。
速度の2乗平均は１粒子あたり運動エネルギーに比例することに
注意しましょう。

回答No.3

kuruntep

全くのシロートの暇つぶし的回答です。
　「相対速度の２乗平均」は［（ｖ１－ｖ２）＾２掛ける確率密度］の積分ですよね。期待値だから。但しｖ１，ｖ２はベクトルで、＾２は内積ということで。
　そしたら、ｖ１・ｖ２の期待値がゼロなら、質問の結果になりますよね。
　Maxwell速度分布じゃ無くたって、等方的な場合ならｖ１・ｖ２の期待値は（ベクトルだから）ゼロかな？
　プラマイキャンセルして、、、。

　まあ、出鱈目の思い付きですけど、、、ご批判を待つ。

回答No.1

noname#108554

自由度の等分配則からです。
(で、いいと思いますが、等分配則を示せという問題だったら
ちゃんと積分して示す必要があります。)

お礼

不勉強で申し訳ないのですが、
>自由度の等分配則
とはなんですか？