解の十分性確認方法について

質問

次のような問題を以下のように解いたとします。
質問は、解き方ではなく解の十分性の確認についてです。

（１）x-1/x=2 のとき x+1/xの値を求めよ
解:
(x-1/x)^2=x^2-2+1/x^2=4よりx^2+1/x^2=6
なので (x+1/x)^2=x^2+2+1/x^2=8
よって x+1/x=±root(8)

（２）x=1のときx+1/xの値を求めよ
解：
x-1/x=0より(x-1/x)^2=x^2-2+1/x^2=0
よって x^2+1/x^2=2から (x+1/x)^2=4
よって x+1/x=±2

（１）の解の十分性は「x-1/x=2の解はちょうど２つあり、そのxに対しx+1/xも２つある」
（２）は「x+1/xの解は唯一つあり正である」
ことを示せばよさそうですが、かったるいです。
（１）の解の十分性を示すのに他にどんな方法があるでしょうか。
本質的な方法、直観的な方法があれば教えてください。

回答No.3

tmpname · ベストアンサー

先ず、(1)は、「x + y = 2, xy = -1の時 x - yの値を求めよ」
という問と同じなのはよいでしょうか。
というのは、-1/x = y とおくと、確かにx + y = 2, xy = -1であって、逆にx + y = 2, xy = -1を満足する(x, y)は、x - 1/x = x + y = 2を満たすから、
「x - 1/x = 2」というのと、「あるyが存在して、x + y = 2かつxy=-1」というのは同値です。

こうすると、普通(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy と計算して、この場合8ですが、この8 (= (x+y)^2 - 4xy )に対し、β = √{(x+y)^2 - 4xy}とおいた時、 x-yがβ と-β両方取り得るか、というのが問題になっている。

所で、x = {(x+y) + (x-y)} / 2, y = { ( x+y) - (x-y)} / 2なので、x+y, x-yの値からxとyが分かる。そうするとこれからxyの値が分る。
つまり、 x+y = 2, x-y = ±βとおいたとき、xy=-1となれば問題がないことになるが、これは問題が無いことがすぐに分る。実際、

xy = [ {(x+y) + (x-y)} / 2 ] * [ ( x+y) - (x-y)} / 2]
= (1/4) {(x+y)^2 - (x-y)^2} = (1/4) (4 - β^2) = -1
となる（今の計算で結局βでなくβ^2しか使わないことが重要）。

で、結局 x+1/x = x-yはβ と-β両方取り得ることが分る。

結局十分性を示すというのは、必要性を調べるときは「XXXXならばYYYYしかない」というのと逆に「逆にYYYYYならば確かにXXXXを満す」みたいなことを言う事ですから、こういう風に「逆に解く」みたいな事が必要になることが多くあります。今の場合は、x+yとx-yの値からxとyを逆に解いています。ただし、xとyの値自体は使ってません。

因みに、x = {(x+y) + (x-y)} / 2というのは時々使います。

お礼

ご回答ありがとうございます。
＞ x = {(x+y) + (x-y)} / 2, y = { (x+y) - (x-y)} / 2
この式はちょっと（いや、かなり）違いますが三角関数の積分公式（和と積）に
登場するものと形がよく似ています。あの公式、少しなじみが出ました。
（ sin(x+y)=sinx cosy+siny cosx ／ sin(x-y)=sinx cosy－siny cosx ）
それから１変数の式をわざわざ２変数の式に変換する手法、びっくりしました。
（逆の変数を減らすのはよく経験しますが）
ご教示いただいた方式で x-a/x=bの一般形でも成り立つことを確認しました。
x+1/xはｘと1/xを入れ替えても同じでx-1/xは入れ替えると符号が逆になること
複素平面でzz'(bar)=1との関係などご回答の内容と深い関係があるように
思います、等いろいろ考えさせていただきありがとうございました。

回答No.2

noname#215361

(1)については、次の考察が必要かと思われます。

（x-1/x）^2=x^2-2+1/x^2=4よりx^2+1/x^2=6
この関係は、x-1/x=-2としても全く等しい、つまりx-1/x=2という限定条件が消えてしまったことになります。

x-1/x=2の両辺にxを掛けて整理すると、
x^2-2x-1=0
これから、x=1±√2

・x=1+√2のとき、
x+1/x
=1+√2+1/（1+√2）
=1+√2+（1-√2）｛（1+√2）（1-√2）｝
=1+√2-（1-√2）
=2√2

・x=1-√2のとき、
x+1/x
=1-√2+1/（1-√2）
=1-√2+（1+√2）/｛（1-√2）（1+√2）｝
=1-√2-（1+√2）
=-2√2

また、x-1/x=-2の両辺にxを掛けて整理すると、
x^2+2x-1=0
これから、x=√2±1

・x=√2+1のとき、
x+1/x
=√2+1+1/（√2+1）
=√2+1+（√2-1）/｛（√2+1）（√2-1）｝
=√2+1+（√2-1）
=2√2

・x=√2-1のとき、
x+1/x
=√2-1+1/（√2-1）
=√2-1+（√2+1）/｛（√2-1）（√2+1）｝
=√2-1+（√2+1）
=2√2

よって、x=√2±1のとき、x+1/x=2√2

以上から、x-1/x=2としたときのx+1/xの値2√2が、x-1/x=-2としたときのx+1/xの値2√2と等しいので、
答えはこれを除いたx=1-√2のときのx+1/x=-2√2
（これでは解き方ですか？）

お礼

ご回答ありがとうございます。
その中のx-1/x=－2（x^2+2x-1=0）の解はx=√2±1ではなく－1±√2ではないでしょうか？
この場合 x=－1+√2のときはx+1/x＝2√2，x=－1-√2のときはx+1/x＝－2√2で
x-1/x=2のときと同じになります。

x-1/x=2・・・(1)
x^2-2x-1=0・・・(2)
x=1±√2・・・(3)
この(1)(2)(3)はどれも同値なので「x-1/x=2のとき」というのは
「x=1+√2またはx=1-√2のとき」とおなじでそれらを代入した
「x+1/xは±√8」というのが（(2)を活用した）答えと思います。

(x+1/x)^2=8からの２つのx+1/xの値について
(2)の解をα，βとするとαβ=－1よりα+1/α=β+1/β⇒α=βなので
(2)の異なる解をx+1/xに与えると異なる結果になり x+1/x は２つの値をもち
必要条件として求めた二つの値 x+1/x=±√ 2は十分条件でもある
と考えられますが、この(2)の式を積極的に活用しない十分条件を示す方法の教示が
質問の意図です。

どうもありがとうございました。

回答No.1

bran111

(2)まちがいです。

x=1のときx+1/x＝2

(1)と(2)の問題のsituationが違うことをまず理解してください。つまり必要十分の関係が違います。

まずはグラフを書いて眺めれば一目瞭然で、何をか言わんやという感じです。

お礼

どうもご教示ありがとうございました。
もう少し考えてみます。