三次関数の共通解

質問

こんばんは。初めまして。

早速ですが質問です。

x^3+m*x^2-4=0…(1)
x^3+m*x+2=0…(2)

は実数mがどんな値をとっても共通解を持たないことを証明せよ。

という問題なのですが、全くわかりません。

始めはx=aを共通解に持つと仮定して背理法で解こうかと思ったのですが途中から自分が何をしているのかがわからなくなってしまいました笑

どんな方法で解くのかわからないのでできるだけ詳しく教えて頂けたらすごくありがたいです。
よろしくおねがいします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>実数mがどんな値をとっても共通解を持たないことを証明せよ。
共通解xは実数の範囲で考えれば良いですか？

そうであるとすれば

実数の共通解 x を持つと仮定する。
(1),(2)にx=0を代入すると共に成立しないから共通解 x≠0
共通解は　(2)x-(1) から導出した次の方程式に含まれなければならない。
　x^4-x^3+2x+4=0　…(★)
ところが
y=x^4-x^3+2x+4
のグラフを描くとx軸との交点を持たず、常に　y＞0
これは「実数の共通解 x を持つと仮定」に反する。

よって、実数mがどんな値をとっても、(1),(2)は実数の共通解を持たない。

[検証]　(★)の4次方程式の解は以下のように求まりますが、4つの解は全て虚数の解です。
x={1+√(9+4√6)}/4±i{√15+√(4√6 -9)}/4, {1-√(9+4√6)}/4±i{√15-√(4√6 -9)}/4
これらのxを(1)に代入するとmは全て虚数となって、mの実数条件に反する。
つまり,4つのxの虚数の共通解候は、全て mの実数条件に反するので共通解ではない。
このことを合わせると、(1),(2)は、実数mがどんな値をとっても共通解（虚数解を含む）を持たないと言える。

お礼

回答ありがとうございます。

論理的に問題ないと判断しました。
本当にありがとうござあかます。

回答No.4

statecollege

ANo3.さんの答えは少しおかしいと思います。以下（・の部分に）理由を書きます。

＞そのやり方でいいと思いますよ。
m=ｍ１のとき共通解をx1を持つとする。
このとき（１）-（２）
⇔　m1 x1^2 + m1 x1 - 6 = 0

・(1)-(2)
⇔　m1ｘ1＾2 - m1x1- 6 = 0
となる。このミスは以下の議論にあまり関係ないのですが、指摘しておきます。

＞この式をｘ１についての２次方程式とみると　判別式D = m1^2 + 24 m1　は常に正の値をとる。
（ｍ１についての方程式と考えてもう一度判別式Dを作ると正となる）
条件を満たすｘ１は実数の範囲内に存在しない。
よって矛盾する。

・判別式D=m1^2 +24m1 は常に正でありません。
　-24 < m1 < 0のとき、D < 0
　 m1 < or = -24 あるいは　m1 > or = 0のとき、D > or = 0
となる。したがって、ｍ１が開区間(-24,0)にあるときかつそのときにかぎり、ｘ１は虚数解をとるので、共通解ｘ１が実数であるという仮定に矛盾する。しかし、m1がそれ以外の値をとるときはｘ１は実数解をとるので矛盾ではありません。

またANO3の回答では「Dが正なら、矛盾」と書いてありますが、Dが正ならｘ１に実数解が存在することになるので、矛盾ではありません！

お礼

回答ありがとうございます。

ご指摘ありがとうございます。

回答No.3

ran-neko

そのやり方でいいと思いますよ。
m=ｍ１のとき共通解をx1を持つとする。
このとき（１）-（２）
⇔　m1 x1^2 + m1 x1 - 6 = 0
上式をｘ１についての２次方程式とみると　判別式D = m1^2 + 24 m1　は常に正の値をとる。
（ｍ１についての方程式と考えてもう一度判別式Dを作ると正となる）
条件を満たすｘ１は実数の範囲内に存在しない。
よって矛盾する。

お礼

回答ありがとうございます。

statecollageさんから指摘のある通りすこし論理的にかけている部分があるとおもいますが参考にさせてもらいます。

本当にありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

共通解を持つと仮定して背理法でできなくはないような気はするけど全く無保証で:

まず m=0 で共通解を持たないことはほぼ明らかだと思うので m≠0 を仮定する. このとき (1) と (2) から共通解は
(3) mx^2-4 = mx+2
を満たす. m≠0 から x^2-x-6/m = 0 で, これと (2) が共通解を持つので「共通解が満たすべき 1次方程式」が得られ, 結局
「共通解があるとしたら m を使ってこう書けるよ」
って式が得られる. ところがこの「共通解」は (3) を満たさない... かな?

6次の行列式を計算する根性があるなら終結式で終わりだったりする.

お礼

回答ありがとうございます。

計算して共通解をmであらわしたあと(3)に代入した後吟味するとやや計算は煩雑なものの無事解くことができました。
本当にありがとうございました。