二次方程式の解の問題

質問

分かる方、教えてください。

■x^2 -5x -3 = 0 の解をαとβとするとき、次の値を求めよ。

１．(1/α^2) + (1/β^2)
２．(1/α^3) + (1/β^3)

上記の問題ですが、いくら考えてもわかりません。
とりあえす、解の公式に当てはめて、αとβを出しましたが、
式に代入しても・・・どうしても回答になりません。
α=(5+√37）/2
β=(5-√37) /2

ちなみに正解は、

(1)31/9
(2)-170/27

です。
どなたか解き方を教えていただけないでしょうか。
ギブアップです・・・。

回答No.3

take_5 · ベストアンサー

普通の解法は他の人がやってくれるだろうから、少し遊んでみよう。。。。笑
と、言うより一つの問題に解法が一つしかないというのは珍しい。
いろんな解法にchallengeする事は、数学上達の一つの方法なんだけどね。

x^2 -5x -3 ＝ 0において、x≠0から、両辺をxで割ると、x-5-（3/x）＝0から、1/x＝（1/3）*（x-5）であるから、
1/α＋1/β＝（1/3）*（α＋β-10）＝-5/3　‥‥(1)
次に、両辺をx＾2で割ると、（1）-（5/x）-（3/x＾2）＝0から、1/x＾2＝（1/3）*（1-5/x）より、
1/α＾2＋1/β＾2＝（1/3）*{2-5（1/α＋1/β）}＝（1/3）*{2＋25/3}　＝31/9　‥‥(2)
又、両辺をx＾3で割ると、（1/x）-（5/x＾2）-（3/x＾3）＝0から、1/x＾3＝（1/3）*（1/x-5/x＾2）であるから、
1/α＾3＋1/β＾3＝（1/3）*{（1/α＋1/β）-5（1/α＾2＋1/β＾2）＝（1/3）*{-5/3-155/9}　＝-170/27　。

回答No.4

nettiw

x^2 -5x -3 = 0
(x-α)(x-β)=0
x^2-(α+β)x+αβ=0
係数比較して、(α+β)=5, αβ=-3 [解と係数の関係]。

基本対称式への変形。
α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=25+6=31
α^3+β^3=(α+β)^3-3(α+β)αβ=125+45=170

　(1/α^2) + (1/β^2)
=(α^2+β^2)/(αβ)^2=31/9

(1/α^3) + (1/β^3)
=(α^3+β^3)/(αβ)^3=170/(-27)=-170/27　...　。

回答No.2

sanori

こんにちは。

＞＞＞
とりあえす、解の公式に当てはめて、αとβを出しましたが、
式に代入しても・・・どうしても回答になりません。
α=(5+√37）/2
β=(5-√37) /2

そのやり方でも、間違えずに計算すれば、答えが出ます。

しかし、＃１様がおっしゃっている「解と係数の関係」を使うのがよいです。

二次方程式の解がα、βであるとき、
（ｘ－α）（ｘ－β）＝０
なのですから、
ｘ^2　－（α＋β）ｘ　＋　αβ
です。
つまり、α＋β＝５、αβ＝－３　です。

１．
(1/α^2) + (1/β^2)　＝　β^2／(αβ)^2　＋　α^2／(αβ)^2
　＝　（β^2　＋　α^2）／(αβ)^2
　＝　（β^2　＋　α^2）／９
　＝　｛（α＋β）^2　－　２αβ　｝／９
ここまで来るとわかるのでは？

２も頑張って解いてみてください。

回答No.1

noname#231526

これは非常によくあるパターンです。
ポイントは解と係数の公式を用いて、α＋β、αβを計算しておくことと、与えられた式を、α＋βとαβで現わすように変形することです。

最初の式は、通分しますと分母はすぐαβで現わすことができます。
分子は、（α＋β）に二乗から何を引けば分子に等しくなるかを考えると、変形方法が分かります。変形すればあとの計算は簡単です。
次の式も同様ですね。

健闘を祈ります

お礼

早速のご回答、ありがとうございました。
とてもよく理解できました。

(α+β)、αβを先に計算し、与えられた式を変形しないといけないという点にきづかなければ解けない問題なのですね。

α+β　=5
αβ　=　-3

で式変形後は、

(1){(α+β)^2　-　2αβ}/(αβ)^2

でした。ここまでくると簡単ですね。
本当にどうもありがとうございました。
助かりました。

(2)もいまから解いてみます^^