定積分の答えが分かりません。

質問

画像の問題の答えを教えてください。
自分で計算したところ、
arc sin 1/√2 - arc sin 1/2
となりました。
x^2 = t と置いて計算したのですが、合ってるか不安です。逆三角関数がよくわかっていません。

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

No.1です。

ANo.1の補足の質問の回答
>自分は
∫[√2,2]1/(√8-t^2)dt = [arc sin t/√8][√2,2]
と計算しましたがこのやり方は合っているでしょうか？

合っていますよ。
難しい公式は公式を間違えて適用すると、×になってしまうので、できるだけ簡単で間違わない解法が良いかと。
難しい積分公式を使うときは、積分結果を微分して被積分関数に戻ることで正しいことを確認するようにするといいでしょう。

また
逆三角関数の主な値は以下のように三角関数と対応させて覚えるようにすると簡単に覚えられるでしょう。
sin(0)=0 ⇔ arcsin(0)=0
sin(π/2)=1 ⇔ arcsin(1)=π/2
sin(π/3)=√3/2 ⇔ arcsin(√3/2)=π/3
sin(π/4)=1/√2 ⇔ arcsin(1/√2)=π/4
sin(π/6)=1/2 ⇔ arcsin(1/2)=π/6
cos(0)=1 ⇔ arccos(1)=０
cos(π/2)=0 ⇔ arccos(0)=π/2
cos(π/6)=√3/2 ⇔ arccos(√3/2)=π/6
cos(π/4)=1/√2 ⇔ arccos(1/√2)=π/4
cos(π/3)=1/2 ⇔ arccos(1/2)=π/3
tan(0)=0 ⇔ arctan(0)=0
tan(π/6)=1/√3 ⇔ arctan(1/√3)=π/6
tan(π/4)=1 ⇔ arctan(1)=π/4
tan(π/3)=√3 ⇔ arctan(√3)=π/3

お礼

とても親切な回答ありがとうございます！！
しっかり勉強します。

回答No.1

info222_

＞自分で計算したところ、
>arc sin 1/√2 - arc sin 1/2
>となりました。
計算は合っていますが
逆三角関数の値を代入すれば
=π/4 - π/6=π/12
となり正解の答えが得られます。
主な逆三角関数の値は対応する三角関数からすぐ出てくるので、逆三角関数を数値に置き換えるところを復習しておいてください。

>x^2 = t と置いて計算したのですが、合ってるか不安です。
このやり方であっています。

計算すると以下のようになります。

I=∫[2^(1/4), 2^(1/2)] 2x/(8-x^4) dx
x^2=tとおくと 2xdx=dt
I=∫[2^(1/2), 2] dt/√(8-t^2)
t=2√2 sin uとおくと
t：[2^(1/2), 2] ⇒ u=[π/6, π/4]
dt=2√2 cos u du
なので
I=∫[π/6, π/4] 2√2 cos u du/(2√2 √(1-(sin u)^2))
=∫[π/6, π/4] cos u du/√(1-(sin u)^2)
=∫[π/6, π/4] cos u du/cos u
=∫[π/6, π/4] du
=[u][π/6, π/4]
=π/4-π/6
=π/12 ... (答)

補足

詳しくありがとうございます！
自分は
∫[√2,2]1/(√8-t^2)dt = [arc sin t/√8][√2,2]
と計算しましたがこのやり方は合っているでしょうか？
ここでよくわからなくなってしまいましたが、二回置換したほうがわかりやすいですね！