シグマ計算

質問

Σk・(m乗)

k=1からnまでで、これをｎとｍだけで
表せますか？
簡単そうに見えるけど、解けません(>_<)
よろしくお願いします。

回答No.6

noname#108554 · ベストアンサー

参考URLの「自然数のべき和に関するメモ(1)」の11ページ目
下の方に出ています。
要するにベルヌーイ多項式を用いて書けるということです。

参考URL：

http://www.nikonet.or.jp/spring/junle/suuretu.htm

お礼

お礼が遅くなってすみません。
回答ありがとうございます。
自分が求めていた答えに近い気が
します。
読んで理解するにはちょっと時間が
かかりましたけど…

回答No.5

ryn

Σk = { n(n+1)/2 } * { 1 }
Σk^2 = { n(n+1)/3 } * { n + 1/2 }
Σk^3 = { n(n+1)/4 } * { n^2 + n }
Σk^4 = { n(n+1)/5 } * { n^3 + (3/2)n^2 + (1/6)n - 1/6 }
Σk^5 = { n(n+1)/6 } * { n^4 + 2n^3 + (1/2)n^2 - (1/2)n }
　：
　：

後ろの中括弧内は (m-1)次式で
　(m-1)次の係数は 1
　(m-2)次の係数は (m-1)/2
それから，当然ですが 0～(m-1)次までの係数の和は (m+1)/2 なので
　(m-3)次以下の係数の和は 0
　m が奇数のときは定数項はなし(?)

あまり見えてこないですね．

お礼

お礼が遅くなってすみません。
回答ありがとうございます。
何かよくわからなくなってきました…

回答No.4

proto

とりあえず昔m=7まで計算しまたことがあるので、質問の本質からはずれますが、

Σ[k=1,n]1=n
Σ[k=1,n]k=(1/2)n(n+1)
Σ[k=1,n]k^2=(1/6)n(n+1)(2n+1)
Σ[k=1,n]k^3=(1/4)(n^2){(n+1)^2}
Σ[k=1,n]k^4=(1/30)n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)
Σ[k=1,n]k^5=(1/12)(n^2){(n+1)^2}(2n^2+2n-1)
Σ[k=1,n]k^6=(1/42)n(n+1)(2n+1)(3n^4+6n^3-3n+1)
Σ[k=1,n]k^7=(1/24)(n^2)(3n^6+12n^5+14n^4-7n^2+2)

これくらいなら、紙と鉛筆で出来ると思うので一度実際に導いてみて、それから考えるといいかもしれません
実際自分は計算しながら、これをプログラムに書き直せないかと考えていました
(同じ計算のくり返しだからいがいと簡単にできるかも知れない)

お礼

お礼が遅くなってすみません。
回答ありがとうございます。
自分も少しこれをプログラムにすることには
興味があります。
ちょっとがんばってみます。

回答No.3

nabla

たぶん可能です。（やってみたことはないので確証はありませんが）

では、その例として
m=1のとき、Σ(k^1)=n(n+1)/2
m=2のとき、Σ(k^2)=n(n+1)(2n+1)/6
を利用して、m=3を求めてみたいと思います。

まずはじめに、
(x+1)^4=x^4+4x^3+6x^2+4x+1ですね。
そこでこのxに１から順番に入れていくと下のようになります。

2^4=1^4+4×1^3+6×1^2+4×1+1
3^4=2^4+4×2^3+6×2^2+4×2+1
4^4=3^4+4×3^3+6×3^2+4×3+1
5^4=4^4+4×4^3+6×4^2+4×4+1
…
n^4=(n-1)^4+4×(n-1)^3+6×(n-1)^2+4×(n-1)+1
(n+1)^4=n^4+4×n^3+6×n^2+4×n+1

そしてこれを全部足していくとうまい具合に４乗の項が消えて、
(n+1)^4=1^4+4×Σ(k^3)+6×Σ(k^2)+4×Σ(k^1)+n
となります。
あとはこれに先ほどの式を代入して、
Σ(k^3)について整理していけば、Σ(k^3)=n^2(n+1)^2/4と言う式になります。

あとはこれを繰り返せば、理論上はいくらでも式を作ることができます。

帰納法でも使えば一般式も出るのかなぁ？

お礼

遅くなりましてすみません。
回答していただきありがとうございます。
自分も同じやり方を知っています。
もっと簡単にできませんかね…

回答No.2

kyu-hama

Σ（m^k）なら出来ますけど…

一般的には
Σ1＝n
Σｋ=n(n+1)/n
Σk^2=n(n+1)(2n+1)/6
Σk^3={n(n+1)/2}^2
までは知られてますが、それ以上mが大きい場合は
まぁ無理と思ったほうが良いと思います
（理論的には計算はm=4以上も不可能ではないはずですが
現実的には難しいです）

お礼

ありがとうございます。
一様、m=4以上も求め方はわかるのですが、
やっぱりnとmだけでは無理ですかね…

回答No.1

springside

m=1のとき、Σ(k^1)=n(n+1)/2
m=2のとき、Σ(k^2)=n(n+1)(2n+1)/6
m=3のとき、Σ(k^3)=n^2(n+1)^2/4

などとなりますが、mのままにして一般式として表すのは無理（存在しない）なんじゃないでしょうか。

お礼

回答ありがとうございました。
やっぱり無理ですかね…
もし後でわかったら、教えてください。