数学的帰納法の等式の証明

質問

数学的帰納法の等式の証明がわかりません。
良くわからないのでわかる方がいましたら説明をお願いします。

1二乗+2二乗+3二乗．．．ｎ二乗＝1/6ｎ（ｎ+1）（2ｎ+1）・・・(1)

ｎ＝1のとき(1)は
左辺＝1、右辺1/6*1*2*3＝1
よって(1)はｎ＝1もとき成り立つ。

(1)がｎ＝ｋのと成り立つと仮定すると、
1二乗+2二乗+3二乗+．．．ｋ二乗＝1/6ｋ（ｋ+1）（2ｋ+1）と示せばよい。
ｎ＝ｋ+1のとき
1二乗+2二乗+3二乗+．．．ｋ二乗＝1/6ｋ（ｋ+1）（ｋ+2）
左辺＝1二乗+2二乗+3二乗+．．．ｋ二乗+（ｋ+1）二乗
＝1/6ｋ（ｋ+1）（ｋ+2）+（ｋ+1）二乗
＝1/6（ｋ+1）（ｋ（2ｋ+1）+6（ｋ+1））
＝1/6（ｋ+1）（2ｋ二乗+7ｋ+6）
＝1/6（ｋ+1）（ｋ+2）（2ｋ+3）
＝1/6（ｋ+1）（（K+1）+1）（2（ｋ+1）+1）
よってｎ＝ｋ+1のとき(1)は成り立つ。
全ての自然数ｎについて(1)は成り立つ。

という問題なんですが・・・。

1二乗+2二乗+3二乗+．．．ｋ二乗+（ｋ+1）二乗の　（ｋ+1）二乗はどこから出てきたんですか？
どうしてもこれが何処から出てきたのかわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.3

R_Earl · ベストアンサー

> (1)がｎ＝ｋのと成り立つと仮定すると、
> 1二乗+2二乗+3二乗+．．．ｋ二乗＝1/6ｋ（ｋ+1）（2ｋ+1）と示せばよい。
> ｎ＝ｋ+1のとき
> 1二乗+2二乗+3二乗+．．．ｋ二乗＝1/6ｋ（ｋ+1）（ｋ+2）

この部分が変です。正しくはこんな感じになると思います。
*******************************************
(1)がn = kの時にが成り立つと仮定する。
つまり
1二乗+2二乗+3二乗．．．k二乗 = 1/6k（k+1）（2k+1）
が正しいと仮定する。
この時n = k + 1でも(1)が成り立つ事を示す。
*******************************************

1二乗+2二乗+3二乗．．．k二乗 = 1/6k（k+1）（2k+1）が正しい事を示すのではなくて、
1二乗+2二乗+3二乗．．．k二乗 = 1/6k（k+1）（2k+1）は正しい等式だと見なすんです。
そしてこの「正しいと仮定した等式」を用いて、
(1)がn = k + 1でも成り立つ事を示すんです。
証明の続きは次の通りになります。

*******************************************
成り立っていると仮定している
1二乗+2二乗+3二乗．．．k二乗 = 1/6k（k+1）（2k+1）
の両辺に(k+1)二乗を加える。

1二乗+2二乗+3二乗．．．k二乗 = 1/6k（k+1）（2k+1）
↓
1二乗+2二乗+3二乗．．．k二乗 + (k+1)二乗 = 1/6k（k+1）（2k+1） + (k+1)二乗

となる。この等式の右辺を式変形すると
（右辺）
= 1/6k（k+1）（2k+1） + (k+1)二乗
= …
= 1/6（ｋ+1）（（K+1）+1）（2（ｋ+1）+1）
よって

1二乗+2二乗+3二乗．．．k二乗 + (k+1)二乗 = 1/6k（k+1）（2k+1） + (k+1)二乗
↓
1二乗+2二乗+3二乗．．．k二乗 + (k+1)二乗 = 1/6（ｋ+1）（（K+1）+1）（2（ｋ+1）+1）

となって、n = k + 1の時も(1)が成り立つ事が言える
*******************************************

> 1二乗+2二乗+3二乗+．．．ｋ二乗+（ｋ+1）二乗の　（ｋ+1）二乗はどこから出てきたんですか？

後半の証明の先頭～3行目までの部分です。
成り立っていると仮定している「1二乗+2二乗+3二乗．．．k二乗 = 1/6k（k+1）（2k+1）」の両辺に、
(k+1)二乗を自分で勝手に加えたんです(等式変形なので問題はないですよね？)。

(1)にn = k + 1を代入した等式が成り立つ事を示したいので、
とりあえず「(1)にn = k + 1を代入した等式の左辺」を無理矢理作ってます。
後は右辺を上手く式変形して、「(1)にn = k + 1を代入した等式の右辺」にしてあげるんです。

お礼

答えていただき、ありがとうございます。
納得しました＾＾

回答No.5

hugen

1^2+2^2+3^2+・・・+n^2　　　で　n が　k+1 の場合　　1^2+2^2+3^2+・・・+(k+1)^2

お礼

答えていただき、ありがとうございます。

回答No.4

alice_44

＞ （ｋ+1）二乗はどこから出てきたんですか？

(a) ある式が、n=1 のとき成り立つ。
(b) その式が n=k のとき成り立っていれば、n=k+1 でも成り立つ。
という二つの条件が成立していれば、その式は任意の自然数 n で成り立つ。
…というのが、数学的帰納法。数学的帰納法は、自然数の定義の一部です。

(k+1)^2 は、この (b) の後半部分から出てきたのです。
質問文中の証明は、(b) の構成が全くオカシイ。

＞ (1)がｎ＝ｋのと成り立つと仮定すると、
＞ 1二乗+2二乗+3二乗+．．．ｋ二乗＝1/6ｋ（ｋ+1）（2ｋ+1）と示せばよい。

1^2 + 2^2 + 3^2 + … + k^2 = (1/6)k(k+1)(2k+1) は、これを示せばよいのではなく、
これが成り立つことを仮定したのです。その仮定の下で、
1^2 + 2^2 + 3^2 + … + (k+1)^2 = (1/6)(k+1)(k+2)(2k+3) と示せばよい。
それが、(b) の言っていることです。

＞ ｎ＝ｋ+1のとき
＞ 1二乗+2二乗+3二乗+．．．ｋ二乗＝1/6ｋ（ｋ+1）（ｋ+2）
＞ 左辺＝1二乗+2二乗+3二乗+．．．ｋ二乗+（ｋ+1）二乗

その書き方だと、「左辺」が何の左辺だか、よく解りません。
ひとつ上の行との関係が全く不明…というか、誤解の元となっています。
以下のように改定してみては、どうでしょう。

＃ (1)がｎ＝ｋのと成り立つと仮定すると、
＃ 1二乗+2二乗+3二乗+．．．ｋ二乗＝1/6ｋ（ｋ+1）（ｋ+2）。
＃ これを仮定した下で、ｎ＝ｋ+1のとき
＃ 1二乗+2二乗+3二乗+．．．(ｋ+1)二乗＝1/6（ｋ+1）（（ｋ+1）+1）（2（ｋ+1）+1）と示せばよい。
＃
＃ 左辺＝1二乗+2二乗+3二乗+．．．ｋ二乗+（ｋ+1）二乗
＃ ＝1/6ｋ（ｋ+1）（ｋ+2）　　+　　（ｋ+1）二乗
＃ ＝1/6（ｋ+1）（ｋ（2ｋ+1）+6（ｋ+1））
＃ ＝1/6（ｋ+1）（2ｋ二乗+7ｋ+6）
＃ ＝1/6（ｋ+1）（ｋ+2）（2ｋ+3）
＃ ＝1/6（ｋ+1）（（K+1）+1）（2（ｋ+1）+1）
＃ よってｎ＝ｋ+1のとき(1)は成り立つ。
＃
＃ よって、数学的帰納法より、
＃ 全ての自然数ｎについて(1)は成り立つ。

お礼

答えていただき、ありがとうございます。
参考にさせていただきました。

回答No.2

Mr_Holland

＞1二乗+2二乗+3二乗+．．．ｋ二乗+（ｋ+1）二乗の　（ｋ+1）二乗はどこから出てきたんですか？

　ここは　ｎ＝ｋのとき成り立つと仮定して、ｎ＝ｋ＋１　でも成り立つことを示すために出した式です。
　最初の式で　ｎにｋ＋１を代入した式になっていますよね。
　ここが数学的帰納法のミソです！

　以下に、数式を整理して、ポイントを解説します。

【証明すべき等式】　Σ[i=1→n] i^2 =(1/6)n(n+1)(2n+1)

(1) n=1 のとき　(左辺)＝（右辺）=1　となり成立。
　　（質問者さんの解答でＯＫです。）

(2) n=k のとき　Σ[i=1→k] i^2 =(1/6)k(k+1)(2k+1)　が成立すると仮定して、
　　Σ[i=1→k+1] i^2 =(1/6)(k+1){(k+1)+1}{2(k+1)+1} が成り立つことを示します。
　　（ここの質問者さんの記述がいけません。　「n=kのとき成立」　⇒　「n=k+1のときも成立」を示さなければなりません。）

　　(左辺)=Σ[i=1→k+1] i^2=Σ[i=1→k] i^2 +(k+1)^2 =・・・=（右辺）
　　（この式変形はＯＫです！）

回答No.1

koko_u_u

>1二乗+2二乗+3二乗+．．．ｋ二乗＝1/6ｋ（ｋ+1）（2ｋ+1）と示せばよい。

それは仮定そのものです。

お礼

答えていただき、ありがとうございます。