Σの計算

質問

わからないので
お願いします(^人^)

n
Σ(2k+1)2乗
k=1

です。

回答No.8

Tofu-Yo

とりあえず、高校生くらいの人だと思って、多少大人の捉え方ができる人だと思ってアドバイスします。

今回の問題の場合は教科書に則ったような解き方であれば#1さんで合っていますし、公式を使わない方法として自分と方針のよく似た#5さんも合っています。k(k+1)を使ったテクニカルな#4さんも合ってます。

回答者の皆さんは、みんなあなたが少しでもいい知識を身に付けられるよう、あなたのために書き込みをしています。そのときに、最初になかった条件をあとから付け足して「～～じゃなきゃだめなんです」と一蹴したら回答した方としてはあまりいい気はしませんね。特に「掛け算じゃなきゃだめなんです」は#4さんの言うとおりそのくらい自分でできるはずです。もしできないのなら、まずはそこまでテクニカルなやり方を評価すべき。理解できてなかったら聞く。その上で、これをさらに因数分解してまとめたらどんな形になりますか？と聞くならまだいいですがね。

少なくともこれらの正答に対してあとからぐだぐだ掛け算でまとめなきゃだの、公式使えだの言う前に、それを理解してその知識を得たことに価値があるのだと考えるべきだと思います。その問題に例えばそんな「～しなきゃいけない」なんてわけわからんルールがあったとして、その問題だけガチガチなやり方で解けたとして、何の意味があるのでしょう？本来そんなことよりも解き方の視野を広げて応用力を高めることにこそ価値があるのではないですか？そう思いませんか？

ですから、「～じゃなきゃだめなんです」とせっかく書き込んでもらった回答を否定する前に、まずは書かれている内容の価値を認めるべき。それが認められれば自然と人として当然の回答者さんたちへのある気持ちが沸くはずです。頭ごなしに否定する言葉ではないはずですよ。

少しきついことを書きましたが高校生くらいならきっと理解できるはずです。自分は応援するつもりで書き込んでいます。いろんな意味で大きくなってくれることを期待します。

回答No.7

alice_44

＞　答えは積だけになるように
＞　しないとだめなんです。

たこうしきのせいりくらい
じぶんでやろうよ。
こたえは＃３にかいてある。

回答No.6

alice_44

そうだね。
(4/3)n(n+1)(n+2) + n
= (4/3)n3乗 + 4n2乗 + (11/3)n.
だねえ。
じぶんがおぼえやすくて、つかいやすい
こうしきをつかうといいね。
どれがかんたんかなあ。

補足

何回も申し訳ありませんが
答えは積だけになるように
しないとだめなんです。

回答No.5

momordica

#4さん、わざわざもう一回書くなら、間違ったところ直せばいいのに…

> 公式を使わないとだめなんです(>_<)
数学では、問題で解き方が指定されていれば仕方ないですが、そうでないなら、
基本的にどういう解き方しても構わないんですよ。
（もちろん、ちゃんと筋が通っていなければだめですが）

教科書的な解き方なら、#1さんの回答になります。
#2=#4さんが解くのに使っているのも、それとは違いますが、「公式」です。
#3さんのは公式…とはちょっと言えないかも知れませんが、正しい解き方です。

ということで、私も、教科書とはちょっと違う解き方を。

一般に、任意の自然数pについて、
　Σ[k=1…n]{k^p-(k-1)^p}=k^p
が成り立ちます。　（以下、[k=1…n]は煩雑になるので省略させてもらいます）
例えば、
　Σ{k^1-(k-1)^1}=Σ(1)=n
　Σ{k^2-(k-1)^2}=Σ(2k-1)=n^2
　Σ{k^3-(k-1)^3}=Σ(3k^2-3k+1)=n^3
　Σ{k^4-(k-1)^4}=Σ(4k^3-6k^2+4k-1)=n^4
という具合です。これを踏まえると、今回の問題では、
　(2k+1)^2
　　=4k^2+4k+1
　　=(4/3)(3k^2-3k+1)+4(2k-1)+11/3
となるので、
　Σ(2k-1)^3
　　=Σ{(4/3)(3k^2-3k+1)+4(2k-1)+11/3}
　　=(4/3)Σ(3k^2-3k+1)+4Σ(2k-1)+(11/3)Σ(1)
　　=(4/3)n^3+4n^2+(11/3)n
のように和が求められます。

この解法のメリットの一つは、後から展開整理する必要がないところです。
特に項の数がもっと多い場合などは、ずいぶん楽になります。
途中の
　4k^2+4k+1=(4/3)(3k^2-3k+1)+4(2k-1)+11/3
という変形がややこしそうに見えるかもしれませんが、これは要するに、
(4k^2+4k+1)を(3k^2-3k+1)で割り、その余りを今度は(2k-1)で割るということを
しているだけなので、添付図（左）のような筆算で簡単に求められます。
（筆算の書式は私のオリジナルですが、基本的に係数のみを抜き出して書いた
　整式の除算の繰り返しなので、何をやっているかはわかるかと思います）

そして、この解放のもう一つのメリットは、次数が上がっても、全く同じ方法で
機械的に答が出せるということです。
また、除数の係数は二項係数の最初の1を除いて、後の項を交互に符号を
＋、-と繰り返すだけなので、特に暗記していなくても、「パスカルの三角形」さえ
知っていればすぐに求められます。
例えば、
　Σ(5k^4+6k^3+7k^2+8k+9)
のような、テストで出たら逃げたくなるような式でも、以下の通り、筆算（右）で
瞬殺できます。
　Σ(5k^4+6k^3+7k^2+8k+9)=n^5+4n^4+7n^3+9n^2+14n

補足

申し訳ありませんが
答えがすべて
積になるように
お願いします。

回答No.4

alice_44

こうしきをつかって、わをもとめたよ。
Σ[k=1…n](2k+1)2乗 = 4Σ[k=1…n]k(k+1) + Σ[k=1…n]1
= (4/3)n(n+1)(n+2) + n
= (4/3)n2乗 + 4n + 11/3.

回答No.3

Tofu-Yo

無理やりΣの公式を使わないやり方。

(k+1)^3-k^3
=3k^2+3k+1
=(3/4)(4k^2+4k+1)+(1/4)
=(3/4)(2k+1)^2+(1/4)
なのでこれを(2k+1)^2について解いて代入

Σ(2k+1)^2
=(4/3)Σ{(k+1)^3-k^3}-Σ(1/3)
=(4/3){(n+1)^3-1^3}-(1/3)n
=(4/3)(n^3+3n^2+3n)-(1/3)n
=(1/3)n(4n^2+12n+11)

う～ん合ってるかな？

補足

公式を使わないと
だめなんです(>_<)

回答No.2

alice_44

(2k+1)2乗 = 4k(k+1) + 1 だから、
Σ[k=1…n](2k+1)2乗 = 4Σ[k=1…n]k(k+1) + Σ[k=1…n]1
= (4/3)n(n+1)(n+2) + n
= (4/3)n2乗 + 4n + 11/3.
ぼくは、おぼえるのがにがてで、
Σk2乗 はわからないけれど、
Σk(k+1) = (1/3)n(n+1)(n+2) なら
おぼえられる。

補足

ごめんなさい(>_<)

和を求めたいんです。
書き忘れました。

お願いします。

回答No.1

さゆみ（@sayumi0570）

（２K+1)^2=4k^2+4k+1
ｎ
Σ（４ｋ＾２＋４ｋ＋１）
ｋ＝１

４ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）/6　＋　４ｎ（ｎ＋１）/2　＋ｎ

　＝（４/3)ｎ＾３　＋　４ｎ＾２　＋（１１/3)ｎ