帰納法の途中計算

質問

（１）
（１+２+・・・+ｎ）の２乗＝１の３乗+２の３乗+・・・+ｎの３乗
が成り立つことを数学的帰納法で示せ。
という問題なのです。
それで、n=kの時上式が成り立つとする。

次にn=k+1の時…と考えるわけですが、
この部分を解くのにふさわしい解法が思いつきません。

（２）
加算＋を用いて、自然数の乗算m*nを機能的に定義せよ。

考え方からしてわかりません…。

この２点に関して、アドバイスをお願いします。

回答No.1

masterasia1919 · ベストアンサー

（１）は帰納法でなくても証明できますが、やってみます。

n=kのときに以下が成立すると仮定

（１＋２＋、、、ｋ）＾２
＝１＾３＋２＾３＋、、、ｋ＾３

いま１＋２＋、、ｋ＝Mとする
つまりM^２＝１＾３＋２＾３＋、、、ｋ＾３
またM＝（１/2）k(k+1)

｛M+（ｋ＋１）｝＾２＝M＾２＋２M（ｋ＋１）＋
（ｋ＋１）＾２ ←甲

２M（ｋ＋１）＋（ｋ＋１）＾２=2×（１/2）k(k+1)^2
+(k+1)^2=k(k+1)^2+(k+1)^2=(k+1)^2(k+1)=(k+1)^3←乙

甲に乙を代入。
つまりM＾２＋（ｋ＋１）＾３
＝１＾３＋２＾３、、、＋（ｋ＋１）＾３
つまり
（１＋２＋、、K+1）＾２＝１＾３＋２＾３、、（ｋ＋１）＾３が成立。
わかりづらくてすいません！！

（２）mをｎ回足したときにｍ＊ｎが成立するとして
ｍ＊（n+1）=mn+mが成立することを証明するのかな？
たぶん、、

ｍ＋ｍ、、ｍ＝ｍ＊ｎが成立すると仮定
ｍ＋ｍ、、ｍ＋ｍ＝ｍ＊ｎ＋ｍ＝ｍ（n+1）が成り立つ？でいいのかな？なんか簡単すぎるような。そもそも積の定義がなくてもいいのかな？

回答No.4

masterasia1919

ふと思ったのですが、（２）ってプログラム言語でのことですか？もしC言語で書くなら

int func(int m,int n){
int sum=0,i;
for(i=n;i>=0;n--){
if(n==0){
return sum;
}
sum=sum+m;
}
}
かな、Javaでもおんなじ要領ですよね。ただ、上のプログラムはmをn回足しただけでいいのかな？

回答No.3

Tacosan

(2) の方だけ:
「乗算」は 2引数関数 mult(x, y) と考えられます. これを単純に帰納的に定義するには
(1) x = y = 0 のとき
(2) x = 0 かつ y ≠ 0 のとき
(3) x ≠ 0 かつ y = 0 のとき
(4) x ≠ 0 かつ y ≠ 0 のとき
のそれぞれを考えます. ここで (1)-(3) は帰納法における基底になりますので直接定義してしまい, (4) だけ「x, y の値がより小さな場合の結果」を用いて定義することになります.
もっとも, これはこれで対称的な定義になっていてきれいですが, 実際にはもうちょっと短く定義することも可能です.
でも, ここであえて「帰納的に定義させる」ことを考えると, そのあとで交換法則とか分配法則とかを帰納的に証明させるって問題があるような....

回答No.2

debut

(1)について
　ｎ＝ｋで成り立つと仮定した式の両辺に(ｋ＋１)^3を加え、左辺を
　変形します。
　左辺は［初項１公差１の等差数列の初項からｋ項までの和］の２乗＋(ｋ＋１)^3
　[ ]内に公式を使い　{k(k+1)/2}^2+(k+1)^3＝k^2(k+1)^2/4+(k+1)^3
　として、これを通分して因数分解すれば、ｎ＝ｋ＋１で成り立つこと
　がいえる式が出るので、左辺は（１＋２＋・・＋(ｋ＋１)）の２乗と
　なることがいえます。