弦の固有振動について

質問

公式の導出についてです。

教科書に、糸を伝わる波の速さをv,糸の長さをlとすると、腹の数をs個の振動をs倍振動と呼ぶときの振動数は
F(n)=nv/2l
で表される。s=1の時を基本振動と呼ぶとする。基本振動数とn倍振動数の間には
F(n)=nF(1)
の関係がある。

と教科書にあるのですが、F(n)=nv/2lの式はどうやって、導出すればよいのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.2

Tann3

弦の振動は、こんな図を参考にしてください。
http://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/wave/koyuu/genn.html

　図からわかるとおり、「s=1の時を基本振動と呼ぶ」の「基本振動」の弦の長さは、波長の１／２です。

　つまり、（弦の長さ：L）＝（基本振動の波長）×（１／２）

よって、

　　　（基本振動の波長）＝（弦の長さ：L）×2　　（１）

です。波の性質として、

　　（波長）×（振動数）＝（波の速度）

ですから、基本振動に関して（１）を代入して、

　　（弦の長さ：L）×2　×（基本振動の振動数）＝（波の速度）

となります。

　（基本振動の振動数）＝F(1)
　（波の速度）＝v

ですから、

　　2L × F(1) = v

よって、

　　 F(1) = v / 2L 　　　（２）

となるのはよいですね？

　「n倍振動数」とは、参照先の図からわかるように、

　　F(n) = n × F(1)　　　（３）

です。つまり、

　「2倍振動数」は、基本振動の振動数F(1)の2倍、波長は（基本振動の波長）の１／２です。
　「2倍振動数」は、 基本振動の振動数F(1)の3倍、波長は（基本振動の波長）の１／３です。
　　　　・・・
　「n倍振動数」は、 基本振動の振動数F(1)のn倍、波長は（基本振動の波長）の１／ｎです。

　（２）と（３）から、

　　　　　F(n) = n × v / 2L　　　（４）

です。別な意味で考えてみると、（４）を変形すれば、

　　　　F(n) = v / (2L/n)　　　（５）

です。（１）から、「2L/n」は「波長が（基本振動の波長）の１／ｎ」であることを意味しています。
　つまり（５）は、「波の速度」を「n倍振動数の波長」で割れば「n倍振動数」ということを意味しています。

　最初に示した「波の図」をよく見て、「n倍振動数」の意味をしっかり理解してください。「式」ではなく、「図」で理解した方がよいですよ。

回答No.1

bran111

ｎとｓが混在しています。まず整理してください。