単純減少数列？

質問

塾で出た問題で、先生に説明を受けてもわからないものがあったので教えてほしいことがあります。

aは4<a<12をみたす定数。数列｛an｝について
・a1=a
・an+1=3 + (an)2剰/16

(1) 4<an<12を示せ
(2) an>an+1を示せ
(3) lim an を求めよ
　　n→∞

(1)は数学的帰納法で、（2）はそのまま代入で求められたのですが、問題は(3)です。模範解答は
an+1-4=(an-4)(an+4)/16から（1）（2）を用いてはさみうちの定理に導き
lim(an-4)=0から　　lim(an)=4　へと結論づけます。
n→∞　　　　　　　n→∞
けれどもよく考えてみるとn→∞のとき（1）（2）は証明されているのだから、
4<an+1<an<…<a2<a1<12がなりたち極限値は４となるのは自明ではないかと考えました。そのことを先生に質問したら。
「いっていることは最もだ。けどこれは単純減少数列（とかいっていたようなきがします）で大学ではあたりまえのこととしているんだけれども高校では使えない」といい、でも、といったら
「難しいけれども君の示した方法はその題意そのものであって…」などと教えられましたが、いまいちよくわかりません。
　今自分は高校生ですが、高校において自分が示したような方法ははたしてつかえないのでしょうか？大学入試でもつかえないのでしょうか？わかりやすく誰か説明してもらえないでしょうか？

回答No.1

kony0 · ベストアンサー

もし、(1)がちょっといじわるで、「3<an<12を示せ」（←この不等式自体は（当然に）成り立つ）という問題だった場合、(3)でlim(n→∞)an=4と正しく出せますか？

本当に、(1)(2)だけで極限値が4であることは自明なのでしょうか？

少なくとも、収束するなら（実は(1)(2)から、「収束する」ということは言えるのです）その値をαとおいて、
α=3+α^2/16→α=4,12
→12はありえない。4ならありえるか。。。みたいな考えが必要なはずと思います。

お礼

回答ありがとうございます。返事をもらい、検討してみたところ、たしかに納得しました。（１）の範囲がたまたまなっただけで絶対に４＜an<12でないことがわかりました。けれでも均衡値という考え方もあっていまだにちょっとひっかかるところもあるのも確かです。（x=x^2/16の交点)これからゆっくり考えてみることにします。ありがとうございました。

回答No.2

noname#24477

大学でやることは

上のほうが押さえられる増加数列は
（あるいは下が押さえられる減少数列は）
収束して極限値がある

みたいな事で、極限値がいくつになるかはまた別の話です。
前の人もいっているように極限値をαとでもして
ａ(n)もa(n+1)もαに収束するから・・・
というやり方なら入試で部分点ぐらいくれるかも知れません。

たとえば　a(n)＝５+1/n　のとき　４＜a(n)　ですが
極限値は４とはいえません。
もちろんぎりぎりで　５＜a(n)　ですが
そのぎりぎりのところを見つけるのが問題なのです。

お礼

回答ありがとうございます。この問題をきっかけとしてあらためて極限値についてゆっくり考えることができました。まだまだ高校ではならってないことがいっぱいありそうなので、これからもがんばっていきたいとおもっています。ありがとうございました。