（経済学）最適な消費貯蓄計画ついて

質問

【前提】
2期間モデル（1期と2期）を採用
1期にx1だけ消費し、2期にx2消費した際の効用をlogx1+3/5logx2とする。
1期にy1円、2期にy2円の所得が入る。消費財は1円/単位とする。
預金及び借入は可能で金利はrとし、1期の貯蓄をsとする。

【質問】
所得y1が480、y2が96、金利rが20%のとき、効用を最大化するx1,x2,貯蓄sは
いくらになりますか？

回答No.1

statecollege · ベストアンサー

解き方は、通常の家計の消費選択の問題―予算制約のもとで、効用を最大化する消費の組（組み合わせ）を選択する問題―と同じです。

この問題の予算制約は

x1 + x2/(1+ r) = y1 + y2/(1+ r)

であるが、r = 0.2, y1 = 48, y2 = 96を代入すると、

　x1 + x2/1.2 = 48 + 96/1.2 = 128

すなわち

　x1 + (5/6)x2 = 128

となり、この制約のもとで、効用関数

U = logx1 + (3/5)logx2

を最大化する消費の組(x1,x2)を求めよ、という問題。ミクロの消費者選択の理論で習ったように、最大化の一階の条件は

MRS = 第１財の第２財に対する相対価格

ここで、MRS＝限界代替率 =第１財の限界効用/第２財の限界効用
= (1/x1)/(3/5)(1/x2)= (5/3)x2/x1

であるが、第１期の価格＝１、第２期財の価格＝1/(1+0.20)より、２財の相対価格＝1/(1/1.2) = 1.2 = 6/5であるから、効用最大化１階の条件の方程式は

(5/3)(x2/x1) = 6/5

すなわち、

x2 = (18/25)x1

となる。これと上で求めた予算制約x1 +(5/6)x2 = 128と連立させて解くと、結局

x1 = 80
x2 = (18/25)×80 = 57.6

よって、貯蓄sは
s = y1 - x1 = 48 -80 = -32

これが求める最適貯蓄であるが、最適貯蓄が負の値ということは、この額だけ（銀行から）借金をするということ。第２期には元利合計＝32×1.2＝38.4を（銀行に）返済するので、第２期の所得96から38.4を差し引いた57.6が第２期の消費となる、ということです。

お礼

とても分かりやすかったです！勉強になりました。