ミクロ経済学 貯蓄額

質問

よろしくお願いします。

ある個人は第一期において得た１００万円の所得を２期間にわたって全部支出する。個人の効用関数は、
u=BC (uは効用水準、Bは一期Cは二期の支出額)で示され、個人の第一期における貯蓄には５％の利子がつくものとする。
　個人は効用最大化を図るものとすると、個人の第一期の貯蓄額はいくらか。ただし個人の第一期の所得と第二期の利子収入には１０％の所得税が賦課されるものとする。

答えは４５万円なのですが（たぶん...）,そのプロセスが分かりません。

回答No.1

suna01suna

答えは45万円であってますよ。

10%の税引き後の1期で使える最大金額は90万円。
1期の貯蓄額をxとすると、2期で税引き後の利子収入は
0.05*0.9*x=0.045x
になります。
そのため、2期に使う金額は
x+0.045x=1.045x
です。
ここで貯蓄額xは1期の可処分所得90万円のうち1期で使用したBの残りなわけですから、
x=90-B
です。
なので2期で使える金額は
1.045x=1.045(90-B)=1.045*90-1.045B
になります。
これを効用関数u=BCのCに代入すると
u=B(1.045*90-1.045B)=1.045*90B-1.045B^2
です。
この効用関数の最大値を与えるBの値は、図示したときの接線の傾きが0になるときなわけですから、効用関数uをBで微分したものが0になります。
u_B=1.045*90-1.045*2B=0
ということになります。この
1.045*90-1.045*2B=0
をBについて解けば
B=1.045*90/1.045*2=45
になります。
そのため、1期で使用した金額は45万円になります。
x=90-B
なわけですから効用が最大になるときに1期の貯蓄額は45万円になります。