運動エネルギー、ニュートンの式、エネルギー保存の法則について

質問

物理を独学で勉強しはじめばかりの大学生です。宜しくお願いします。

運動エネルギーは、
K=1/2mv＾2で、
ニュートンのv＾2 - v0＾2 = 2 a Sという式を基本にして、
定義されたものですよね。

つまり、ΔK＝ΣW=∫ΣFdx＝∫madx＝∫mvdvの証明。

そして、このニュートンの式に（１／２）を掛けると、
単体の物体の動きに関するエネルギー保存の法則が定義されます。

ところで、光の速度に近い物体の運動エネルギーに関しては、
K=1/2mv＾2では、定義できず、

K＝mc＾2(1/root(1-(v/c＾2))-1)で定義されるということです。

つまり、この場合は、K=1/2mv＾2を導いた基本式である、
ニュートンの法則が成り立たないということですよね。

しかし、そうなると、エネルギー保存の法則がなりたたないということになります。

そんなことが起こりえるのですか？

また、K＝mc＾2(1/root(1-(v/c＾2))-1)の式は、
どうやって導きだされたのでしょうか？

回答No.1

ryn · ベストアンサー

> K＝mc＾2(1/root(1-(v/c＾2))-1)の式は、
> どうやって導きだされたのでしょうか？
これは相対性理論の教科書に載っていると思います．
ニュートン力学はガリレイ変換不変な理論，
相対論はローレンツ変換不変な理論という違いにより，
ニュートン力学の運動エネルギーとは形が異なります．

> しかし、そうなると、エネルギー保存の法則が
> なりたたないということになります。
> そんなことが起こりえるのですか？
K＝mc＾2(1/root(1-(v/c＾2))-1)
の式を v が光速 c に比べて遅いときの近似すると
K = mc^2{1-(v/c)^2}^{-1/2} - mc^2
　≒ mc^2{1-(-1/2)*(v/c)^2} - mc^2
　= mc^2*(1/2)*(v/c)^2
　= (1/2)mv^2
となり，ニュートン力学の結果と一致します．
すなわち，ニュートン力学のエネルギー保存の式は
速度が遅いときに近似的に成り立っているということです．

お礼

近似的なものだったのですね。近似するとなぜそうなるのか、ニュートン力学と相対論の違いなどさっぱりですが、これから勉強していこうと思います。

ありがとうございました。

回答No.3

shiara

No2です。
　分野によって考え方が違う、ということではないと思います。対象とするものに応じて、適切な理論を使っていくということでしょう。
　現代の我々から見れば、ニュートン力学は、光の速さに比べて非常に遅い現象に適用する近似的な理論ですし、原子のレベルでは厳密な理論ではありません。それぞれ、より適切な理論を現代人は持っています。しかし、ニュートンが彼の力学体系を構築したときは、それが宇宙の真理と思えるほど十分に完全な理論だったはずです。そう思えるだけの根拠があった訳です。つまり、観測される現象は理論と合っており、理論の中にも矛盾は存在しません。ニュートンは、質量が物体の速さによって変わっていくとは思いもしなかったでしょう。その当時は、それで十分だったのです。
　現代においても事情は同じと言えるでしょう。対象とする現象が、光よりも遅く、原子に比べればはるかに巨大な事柄であれば、ニュートン力学で十分正しい結果が得られます。自動車の設計に量子力学を使っても、役に立つ情報が増える訳ではありません。

回答No.2

shiara

ニュートンの運動方程式F=maは、運動量Pを使って、F=dP/dtと書けます。この式の両辺に、質点の速度vを掛けると、その左辺F・v（これは正確に書くとベクトルの内積です）は、運動エネルギーの時間微分dK/dtになります。したがって、dK/dt=dP/dt・vが成り立ちます（この右辺もベクトルの内積です）。
　ここで、質量mが一定としてこの式をKについて解くと、K=1/2・mv^2となります。これがニュートン力学の運動エネルギーとなります。一方、相対性理論では、質量mが速度の関数m=m0/√(1-(v/c)^2)となりますので(m0は静止質量)、このmを使ってdK/dt=dP/dt・vを解くと、K=mc^2となります(厳密には、運動エネルギーとしてはv=0のときにK=0となるように積分定数が付きます)。これを静止質量を使って書くと、K=m0c^2/√(1-(v/c)^2)となります。m=m0/√(1-(v/c)^2)の求め方は、メラーの教科書などを参照ください。結構面倒です。

お礼

相対論では、mが速度の関数なのですね。

物理と一言に言っても、分野によって、考え方が違うのは、なぜなのでしょうか？

小さな誤差を無視し、近似しているのでしょうか？

例えば、真空は、物理の初歩の力学では、無とみますが、
宇宙物理学になると、真空は、ブラックエネルギーなどの力があるようです。

このmを速度の関数とみるなどもそうです。

よかったら教えてください。

ありがとうございました。