エネルギー保存の法則と運動量保存の法則

質問

こんにちは。エネルギー保存の法則と運動量保存の法則の使い方の違いがわからなくなってきたので質問します。

以下は問題集中の問題と問いです。

問題：
「　なめらかで水平な床の上に、粗くて水平な上面を持つ質量Ｍの台Ｄが置かれている。台の上に質量ｍの物体Ａを置き、水平右向きに初速ｖoを瞬間的に与えたところ、Aが台上を運動し始めると同時に、台Dは床上をAと同じ向きに運動を始めた。

　　　　　→ｖo
　　　　　・・・・・
　物体Ａ・　ｍ・
　　　　・・・・・・・・・・・・
　台Ｄ・　Ｍ　　　　　　・
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

問：
　台Ｄと物体Ａが一体となって運動する速度Ｖoを求めよ。」

解答：
　物体Aと台Dを一体と考えると、A,Dに働く水平方向の外力が０である。よって、A,Dの運動量の和が保存される。
　よって、ｍ・Vo＋Ｍ・Vo＝ｍ・ｖo
よって、Vo＝ｍ・ｖo／（Ｍ＋ｍ）

[私の質問]
　この場合、エネルギー保存法則が成り立つと考えれば、
１／２・ｍ・ｖo^2＝１／２ｍ・Vo^2＋１／2Ｍ・Vo^2
∴Vo^2＝ｍ・ｖo^2／（Ｍ＋ｍ）
∴Vo＝√（ｍ／ｍ＋Ｍ）・ｖo
となり、結果が違ってくると思います。

この場合にエネルギー保存法則ではなく、運動量保存の法則を適用する理由（エネルギー保存法則を適用しない理由）は何でしょうか？

解説を願いします。

回答No.7

moumougoo · ベストアンサー

運動量保存の法則：運動方程式と作用反作用から導かれる法則です。
運動量は運動方程式と
f = ma = m dv/dt
∫fdt = m v(t) - m v(0)
という関係にあります。
で、閉じた系を考えると、力があれば作用反作用で逆向きの力があります。
したがって、AとBというモノがあれば
f(A→B)=-f(B→A)
m(A) v(A;t) - m(A) v(A;0) = -{m(B) v(B;t) - m(A) v(A;0)}
となって、結局、
m(A) v(A;t) + m(B) v(B;t) = m(A) v(A;0) + m(B) v(B;0)
と変形できて
時刻tの「系全体の」運動量は、はじめの運動量と同じ
つまり運度量は保存されるとなります。
摩擦でお互い力を及ぼしあおうが、作用反作用として力を及ぼしあっている限りは
成り立ちます。もちろん外から力が加わった場合は成り立ちません。

エネルギーの法則：
こちらも運動方程式の積分なのですが、道のりにそっての積分です。
そして、道のりにそって変わらない量がエネルギーです。
力が場所の関数f(x)とすると、ある軌道x(t)について
∫f(x(t))dx = ∫m dv/dt dx = ∫m (dv/dt dx/dt) dt
= (1/2)∫m dv^2/dt dt = (1/2)m v^2(t)-(1/2)m v^2(0)
となります。
f(x)は場所の関数なのでxによる積分も場所だけの関数です。
なので
∫f(x(t))dx=F(x(t))-F(x(0))
とできます。したがって、
(1/2)m v^2(t)-F(x(t))=(1/2)m v^2(0)-F(x(0))
となります。これは、たとえば、力fが場所の関数ではなくて、速さｖや
道のりによる関数だとすると成り立ちません（例：摩擦）

お互いに力を及ぼす場合はどうか？
同じで、互いの位置関係だけできまる力であれば上と同じ話になります。

で、運動量保存の法則とエネルギー保存の法則との使いわけは、
・閉じた系になっていて、内部での力のやり取りの詳細を考えないのが運動量保存
　※そとから力が加わっている場合は使えない
・運動全体（運動方程式の両辺）を再現できるときに使うのがエネルギー保存の法則
　※外から力が加わった場合にも外からエネルギーが入ってきたと考えればよい
という感じかな？受験テクニックとしてはこうなのかもしれませんが、
系全体をどのようにとらえるかとか、
熱の出入りがあって運動方程式の詳細がわからないときにどうするかとか
物理を勉強する上では問題はよい問題（問題文はあまりよくないと思いますが）だと思います。
がんばってください。

お礼

回答ありがとうございます。

＞で、運動量保存の法則とエネルギー保存の法則との使いわけは、
・閉じた系になっていて、内部での力のやり取りの詳細を考えないのが運動量保存
　※そとから力が加わっている場合は使えない
・運動全体（運動方程式の両辺）を再現できるときに使うのがエネルギー保存の法則
　※外から力が加わった場合にも外からエネルギーが入ってきたと考えればよい

参考にさせていただきます。感謝します。

補足

回答ありがとうございます。

＞∫m (dv/dt dx/dt) dt= (1/2)∫m dv^2/dt dt
が不明です。

回答No.14

my3027

ANo.8です。
私の間違いです。運動量保存則は成り立ちます。
摩擦力が働いても、内力の和が0なの問題ありません。他の方がしてきされている様に、どちらの方法を使っても同じ結果となります。ただ、運動量保存則の方が楽に解けるというだけかと思います。

お礼

回答ありがとうございます。

＞他の方がしてきされている様に、どちらの方法を使っても同じ結果となります。ただ、運動量保存則の方が楽に解けるというだけかと思います。

参考にさせていただきます。

回答No.13

yagoro

#10で忘れていたことと訂正です。

あなたが使ったのはエネルギー保存則ではなく
「力学的」エネルギー保存則です。
そして、それを使うことは間違いです。

この問題では1つの物体だけが運動し、
やがて2つの物体が等速で運動する設定になっています。
そんなことが実現するのは
2つの物体が互いの相対運動を妨げる向きに動摩擦力が働くからです。
この動摩擦力がエネルギー散逸をもたらすので、
題意の運動と力学的エネルギーが保存されることは矛盾します。

ついでに、
>１／２・ｍ・ｖo^2＝１／２ｍ・Vo^2＋１／2Ｍ・Vo^2＋μ'ＮＬ
これは「力学的エネルギー保存則」ではありません。
回答者全員が「エネルギー保存則」といっていることに注目しましょう。

訂正
運動量保存則で位置・速度・加速度の第１式を使うとき
V0-v0=at
としましたがこのとき問題設定にあるt=Tとするのを忘れていました。
正しくは、
V0-v0=aT
です。以下、tはTです

お礼

回答ありがとうございます。

　動摩擦力（他に空気抵抗など）が働けば「力学的エネルギー保存の法則」ではなく、仕事の概念を流用し、「エネルギー保存則」ということですね。
　違いがわかりました。ありがとうございます。

回答No.12

moumougoo

いくつか誤解を招いているようなので追加のアドバイスです。

まず、「∫m (dv/dt dx/dt) dt= (1/2)∫m dv^2/dt dtが不明です」、が、
dv^2/dt = 2 v dv/dtから得られます。運動エネルギーの積分ではいつもでてきます。

つぎに、運動量保存の法則です。
外から力が加わらず、内部で力を及ぼす場合は、運動量が保存される、というときに運動量はベクトルであることに注意してください。成分ごとに、問題集の回答にもあったと思いますがこの場合は水平方向について、外から力が働いているかどうか考える必要があります。
そういう意味で、付け足すとすると、
運動量保存の法則はベクトル（あるいはその成分について）
エネルギー保存の法則はスカラー量で全ての方向の運動について考える必要があるというのが加わるかな？

あと、エネルギー保存でも運動量保存でもどちらでも問題を解というコメントがありますが、
やはり、問題のような場合は、一般には複雑な摩擦や転がり等があっても常に正しい、運動量保存の法則を使うのが正しいかと思います。（つまり、質問者さんが言われている、どういう場合にエネルギー保存の法則をつかって、どういう場合に運動量保存の法則を使うのかという意味で、です。）
というのは、摩擦係数が与えられてそのときの損失を単純に計算できるという特別な場合だからです。
たとえば、粘性のある液体が台車の上にあってそこに、今回の物体Ａが投げ込まれたとしても
運動量保存の法則は成り立ちます。それに対してエネルギー保存の法則で追おうとすると、
液体に浸って原則や回転をしながら沈み込んでいくときの運動を追わなくてはなりません。現実的にはほぼ計算不可能なはずです。

実際の計算では系の対称性や系で保存されている量は何かを見極めることはとても重要だと思います。（たとえばｖ０の向きを変えたとき、Ｖ０の向きも答えの中でちゃんと変わるのかとか、Ｍがめちゃくちゃ大きいとき、ちゃんと物体Ａはとまるのかとか、そういう風に系の性質を見極めるのが物理の極意です。）
標語的にいえば、力学の極意は動かないものを見つけることである、と

以上、蛇足です。

お礼

回答ありがとうございます。

＞運動量保存の法則はベクトル（あるいはその成分について）
エネルギー保存の法則はスカラー量で全ての方向の運動について考える必要があるというのが加わるかな？
＞一般には複雑な摩擦や転がり等があっても常に正しい、運動量保存の法則を使うのが正しいかと思います。

＞標語的にいえば、力学の極意は動かないものを見つけることである、と　（…？）

いろいろとご指摘ありがとうございます。回答に感謝します。

回答No.11

cot_h

エネルギー保存則を用いても全く同じ結果が得られます。
求める速度をu 初速をvとかきます
まずエネルギー保存より、台の上を物体が滑った距離をlとして
1/2mu^2=1/2(M+m)v^2 + μmgl
とかけます。次にlを求めます。
上下の物体で滑りが生じている間、上の物体は左向きにμmg、下の物体は右向きにμmgの力がかかります。
よって上の物体の速度は右向きを正（以下同様）として
-μgt+v　
位置は（t=0をx上=0とします）
x上=-1/2μgt^2+vt
下の物体の速度は
(m/M)μgt
位置は
x下=1/2(m/M)μgt^2
となり、この2つの速度が一緒になる時間Tは
-μgT+v=(m/M)μgT　より
T=Mv/(M+m)μg
となります。
x上(T) - x下(T)　がlに他なりません。
実際に代入して計算してみるとuが運動量保存を用いて計算した結果と一致することが確認できます。（当然ですがμはキャンセルして答えに姿をみせません。）

エネルギー保存を用いない理由は単に計算が面倒なだけで同じ結果が導ける事に注意してください。
これはエネルギー保存と運動量保存が運動方程式から導かれる関係であることを考えれば当然の事です。
つまり、質問の回答は、エネルギー保存則の式が間違っている為結果が違ったというだけのことです。
（もちろん運動方程式からこの2つの保存則を導く過程をよくよく吟味すればそれぞれの法則が使いやすい状況、使いにくい状況はありますがそういう使い分けは問題を解いていく中で身について来る事でしょう）

お礼

回答ありがとうございます。

＞エネルギー保存を用いない理由は単に計算が面倒なだけで同じ結果が導ける事に注意してください。
これはエネルギー保存と運動量保存が運動方程式から導かれる関係であることを考えれば当然の事です。

参考にさせていただきます。回答に感謝します。

回答No.10

yagoro

・運動量保存則
動摩擦力をfとして
まず物体の運動方程式の両辺に時間tをかけます。
最初の運動方向を正、運動開始の時刻をゼロとして
mat=-ft
等加速度運動なので、位置・速度・加速度の１番目の公式より
at=V0-v0です。したがって
m(V0-v0)=-ft
台についても同様なことをします。
M(V0-0)=ft
これらの辺々をたすと
mV0+MV0=mv0
となります。fは消えます。
未知数は等速度のV0だけであり式は１つなので解けます。
なので運動量保存則が使えます。

・エネルギー保存則（やり方だけ）
位置・速度・加速度の３番目の公式V0^2-v0^2=2ax
の両辺にm/2をかけてやります。
右辺に「物体にかかる力ma」がでるので動摩擦力を代入します（符号に注意）。
これを物体と台について行なって２式を得ます。
次にその２式の辺々をたします。
すると今度は動摩擦力fが消えずにfLの形で残ってしまいます。
Lは位置の差、すなわち相対位置です。
こうして得られた式が
>１／２・ｍ・ｖo^2＝１／２・ｍ・Ｖo^2＋１／２・M・Ｖo^2＋μ・ｍ・ｇ・L
です。未知数はV0,μ',Lなのでこれだけでは解けません。
やるなら位置・速度・加速度の式が必要そうです（これやってないです、すみません）。
これがエネルギー保存則を使わない理由です。
人によっては反射神経で運動量保存則のほうを使うかもしれません。

ちなみに運動量保存則もエネルギー保存則も
運動方程式を積分して出てくるものです。
下にその計算がありますね。

お礼

回答ありがとうございます。
分かり難い質問ですいません。

「質問」と「この回答へのお礼」の中で、ｖo、ｍ、Ｍ、μ',Ｔ、ｇ、Ｌが指定されていますので、この記号を使用して求められる物を表すことだと思います・・・

参考にさせていただきます。

回答No.9

lv4u

>>エネルギー保存法則ではなく、運動量保存の法則を適用する理由（エネルギー保存法則を適用しない理由）は何でしょうか？

これは、ライフルの銃弾を砂袋に撃ち込んだ状況に似ていますね。もちろん、小さな砂袋では、銃弾が貫通するので、貫通しないような細工がしてある場合ですが。
で、確かに差が出て、エネルギーを基準に計算した場合、値が小さくなります。その消えたエネルギーは、熱エネルギーに変換されたと解釈されています。なので、熱量を考慮しない、このケースではエネルギー保存則が適用できません。
実際に弾頭は発射の火薬熱や、銃身内のライフリングによる摩擦でも加熱されるでしょうが、命中時は、映画等でわかるように、激しい火花が飛びます。

以前、ハイジャック犯がＡＫ４７で、突入部隊を至近距離から撃ったとき、偶然、部隊員の銃に命中して派手な火花が飛び散るシーンが放送されていました。摩擦熱といえるかどうか不明ですが、相当な高温になるようです。ちなみに隊員はタラップ上部から下まで転落しましたが、無事でした。ＡＫ４７の銃弾は楽々、ヘルメットを貫通するはずなので、銃に当たってなければ、即死だったでしょうね。

でも、なんか、すっきりしない問題なのは確かで、こうして回答しているのも、学生時代に物理の問題に同様なものがあって、正解は出せても、「でも、なんか？？？」って感じたから記憶に残っています。拳銃やマシンガンの実射経験があるので、（もちろん海外でですが）その破壊力と運動エネルギーの関係は、方程式があっても、不思議に思うんですね。

たとえば、ＡＫ４７の弾丸(7.62mmX39mm)の場合、１２～１５円程度の安価なカートリッジ、たった８グラム程度の弾頭が７００ｍ/秒の初速で飛ぶことで、厚さ６ｃｍくらいのブロックを粉砕・貫通し、人命を奪うと思うと、なんか「冷たい方程式」って作品が連想されたりします。

お礼

回答ありがとうございます。

参考にさせていただきます。

回答No.8

my3027

No.2です。各法則の関係はNo7の方が詳細に記載されているので、それから考えられる事は、

>１／２・ｍ・ｖo^2＝１／２・ｍ・Ｖo^2＋１／２・M・Ｖo^2＋μ・ｍ・ｇ・Lは成り立つということでしょうか？
YES.これを解くと
Ｖo=√{(ｍ・ｖo^2-2μ・ｍ・ｇ・L)/(m+M)}
となりmの移動距離L→0(mがガツンと止まる。逸散するエネルギーが無い)となると、No.6の式となります。

結論として、この系は運動量保存則は使えないのでは？理由はNo.7の方も記載されている「※そとから力が加わっている場合は使えない」です。考えたのですが、この系の場合それは重力による摩擦力です。Mとmの摩擦力がなければ成り立ちます。

回答No.6

noname#58790

∴Vo＝√ｍ・ｖo^2／（Ｍ＋ｍ）

回答No.5

noname#58790

さて、簡単なのでひまわりで作成しました。
http://kujirahand.com/himawari/

ここでソフトを落としてコピーして貼り付ければ作動します。
Eがｍ・Vo＋Ｍ・Voに分力しているのは分かると思います。

速度の求め方、どう違うのでしょう？

’エネルギー計算
質量１は、５です。
速度１は、１５です。
エネルギー１は、質量１*（速度１*速度１）/２

エネルギー１を、表示。

’質量を、求める。
質量２は、エネルギー１*２/（速度１*速度１）
質量２を、表示。

’速度を求める。
速度２は、エネルギー１*２/質量１
速度３は、SQRT（速度２）
速度３を、表示。

お礼

回答ありがとうございます。

申し訳ありません。
？？？です。

補足

「ひまわり」をダウンロードしたら、デスクトップにファイルが作成されています。
　ここからどうしたらよいのですか？
　コピーして、どこに貼り付けるのでしょうか？

回答No.4

oosaka_girl

エー他の方の解説を読めば分かってくださると思いますが・・・
エネルギー保存則の対象とあするエネルギーは、大雑把に言っても
位置エネルギー
運動エネルギー
熱エネルギー
とかいっぱいあって、エネルギー保存則で出す問題は、とっても
特殊な条件をつけて（熱の出入りはないものとするとか・・・）
何とか解けるものにする設問が普通です。

でも運動の問題を解く場合には、運動量保存則だけで十分な問題も
いっぱいありますので、エネルギー保存則一本は、受験生にとって、
とても危険です

難しいことは考えず、2つ以上の物体が引付いたり、摩擦だったり
ぶつかったりの場合は、運動量から考えましょう。

お礼

回答ありがとうございます。

＞難しいことは考えず、2つ以上の物体が引付いたり、摩擦だったり
ぶつかったりの場合は、運動量から考えましょう。

参考にさせていただきます。