軌跡の問題。円周角と中心角の関係

質問

二本の直線の交点の軌跡を求めよ、という問題がありました。
二本の直線は直交するので円になると答えました。
で、解答を見ると直交することを示した後に「円周角と中心角の関係より」円周上にある。と書いていました。これはつまり、中心角180度の弧の円周角は90度である、ということが言いたいのでしょうか？この関係を指摘しなければ減点されるくらい重要ですか？

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

>二本の直線の交点の軌跡を求めよ
問題文がこれだけの場合は
>二本の直線は直交するので円になると答えました。
これは正解ではありません。
解答も正しくありません。

直交する直線の交点の軌跡が、円にならない場合も含まれる場合が含まれているからです。

交点の軌跡が円になるためには
直交する直線の一方が定点Ａを通り、かつ
もう一方の直線が定点Ａとは異なる定点Bを通ると
いう条件が問題文に書かれていることが必須条件です。
この条件が書かれている場合に限って、交点の軌跡は定点A,Bを直径とする円の円周となります。
このように修正された問題の場合については
>解答を見ると直交することを示した後に「円周角と中心角の関係より」円周上にある。と書いていました。

解答は正解で、

>これはつまり、中心角180度の弧の円周角は90度である、ということが言いたいのでしょうか？

その通りです。

>この関係を指摘しなければ減点されるくらい重要ですか？

解答が記述式なら当然原点されると思いますので、重要でしょう。

異なる2点A,Bが定点でない場合、例えば
直交する2直線が
y=a(x-a)
ay=-(x+a)
（ただしaは定数）
の交点の軌跡は
2式からaを消去すれば交点の軌跡の曲線（円ではない）
(y+2)x^2+y(y+1)^2=0
となります。
この軌跡の曲線のグラフの概形は
ttp://www.wolframalpha.com/input/?i=%28y%2B2%29*x^2%2By*%28y%2B1%29^2%3D0
のようになります。もちろん、円にはなりません。
問題が訂正されず元のままであれば、円にならない場合も、記述式解答では考察しておかないと大きく減点されるおそれがあります。

参考URL：

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28y%2B2%29*x^2%2By*%28y%2B1%29^2%3D0

お礼

非常に詳しい解説ありがとうございます。

回答No.3

f272

問題がはっきりしていませんが，「円周角と中心角の関係」に特に言及しなくてもよいと私は考える。それよりも大事なのは，「直交するので円になる」とはいえないということです。いえるのは「直交するので円周上にある」です。円周上のすべての点を通る（つまり円になる）のかどうかは別の条件ですから，それについて言及したほうがよいでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。
確かに、仰る通りですね。

回答No.1

kokokina

>「円周角と中心角の関係より」円周上にある。と書いていました。これはつまり、中心角180度の弧の円周角は90度である、ということが言いたいのでしょうか？

その通りです。一番シンプルで解答にも適しています。

＞この関係を指摘しなければ減点されるくらい重要ですか？

はっきり言ってわかりません。というのもどこであれ採点基準を明瞭に示してくれる予備校なり大学なりというのはないからです。
ただし書くべきかそうでないかという質問なら間違いなく書くべきです。このことを書かないというのはほぼいきなり答えに入るということですよね？それは解答を記述式にしている出題者の意図に沿っていません。
記述式の問題では予想外のことで点数をどんどんひかれていきます。減点を少しでも避けるためにも書けることは書くことをお勧めします。

お礼

回答ありがとうございます。
書くようにします。