楕円の中心の軌跡問題です。

質問

楕円の中心の軌跡問題です。
問題
与えられた三角形の３つの頂点を通るような楕円の中心の軌跡を求めよ。

です。高校の範囲での解答をお願いします。

回答No.2

momordica

＃１さんの書かれた式は、楕円の一般式ではなく、「軸がx軸・y軸に平行な楕円」の一般式ですね。
問題文で言う楕円には傾いたものも含まれると考えられるので、この式では求められないと思います。

式を立てて計算はしてみていませんが、多分、求める奇跡は図の色をつけた領域になると思います。
△ABCが与えられた三角形、D, E, Fは各辺の中点です。
点D, E, Fは領域に含みますが、それ以外の境界線上の点は含みません。

円に内接する任意の三角形を考え、それを変形して頂点が与えられた三角形に重なるようにする時
円の中心はどうなるか、という発想で考えたのですが、もう少し分かりやすい考え方があるかもしれません。

回答No.1

noname#137826

楕円の一般式は

(x-x0)^2/a^2 + (y-y0)^2/b^2 = 1

ですね。(x0,y0)が楕円の中心の座標ですから、問題はx0とy0の関係を求めなさいということになります。

上の式では未定係数はx0, y0, a, bの4つあります。
問題で三角形の頂点が3つ与えられるので、未定係数に関する式は3本立てられます。
したがって、それらの3本の連立方程式を解くと、x0とy0についての関係式を得ることができます。

計算はがんばってください。