軌跡の問題で、除外する場合の理由が、わかりません

質問

参考書の解答で下記の最後から２行目の「Aを通る直線のうち、y軸に平行に なる場合を除外する。」とうのが、なぜなのか？また、どうやって除外するものを見つけるのかが、わかりません。どうぞよろしくお願いします。

問題）xy平面上に、２直線　mx-y＋2m=0・・・(1)、x＋my－2=0・・・(2)　がある。
　　　mが全ての実数値をとって変化する時、(1)、(2)の交点Pの描く軌跡を求めよ。

解答）(1)より　m(x＋2)－y=0　。
　　 (2)より　x－２＋my = 0　

　　　よって(1)は定点（－2,0)、(2)は定点（2,0)を通る直線で、
　　　しかも傾きの関係から、(1)と(2)は常に直交する。
　　　ゆえに、交点Pは、A,Bを直径の両端とする円周上にある。

　　　ところで、直線APの傾きがmであるから、mが全ての実数値をとって変化して行く時
　　　直線APは、Aを中心として１回転する。
　　　ただし、Aを通る直線のうち、y軸に平行になる場合を除外する。

　　　よって、Pは、x^2＋y^2=4の周上、ただし（－２,０)を除く。

回答No.1

trytobe · ベストアンサー

(1)は定点A（－2,0)、(2)は定点B（2,0)を通る直線、傾きの積が常に-1だから常に直交、

ということは、その交点Pを考えて角APBは常に直角だから、直径ABの円の円周角が直角になるのに相当して、交点Pの軌跡は直径ABの円周

まではOKという前提で、

ｍが０から大きくなっていくと、傾きｍの直線AP がどんどんAを中心としてｙ軸と並行になろうとするが、いくら大きくなってもｙ軸と完璧には並行になれないので、点A まで 交点P がとどかない

実際、点B の座標を式(1),(2)に代入すると m=0 で成立するが、点A の座標を代入すると m が無限大になっても完璧には成立しない

という微妙な話です。ｍが＋∞に近づく、ｍが－∞に近づく、どちらにせよ y軸とは並行になれない、という説明が飛んでいるだけなのです。

お礼

丁寧な回答を下さり、どうもありがとうございました。

補足

回答、どうもありがとうございます。確認させて頂きたいことがあります。

直線BPは、式（２）x＋my－2=0は、m≠0の時 、y=－x/m＋2/mと書けて
点（2,0）を満たすが、直線y=0にはならない（x軸に平行にならない）、その理由は、m→±∞すなわち、「傾き－1/mが０に近づくだけ」という理解でよろしいでしょうか？

お手数をおかけしてしまいますが、どうぞよろしくお願いします。

回答No.2

MagicianKuma

m→±∞で(1)は垂直に(2)は水平に近づくけどどっちも完全な垂直・水平にはならないということ。

お礼

再び回答下さり、どうもありがとうございました。