確率の問題

質問

ビー玉を転がした先に１５本のレーンがあります。ビー玉がレーンを通るとそこにランプがつきます。ビー玉を１５個転がした後にランプが８個ついている確率はどう計算したら良いのでしょうか？

回答No.14

stomachman · ベストアンサー

既に正解が出ている気がしますけど、ま、いろいろな説明を見てみるのもよいのではないかとおもいます。

「k個のレーンにm個のビー玉を転がす」ということの場合の数をW(k)とします。
W(k)=(k^m)
は自明ですね。(k^m)とはkのm乗です。

「k個のレーンにm個のビー玉を転がしたとき、どのレーンにも少なくとも1個のビー玉が通る」ということの場合の数をY(k)とします。
Y(1)=1
はすぐ分かります。ではk=2,3,....について、Y(k)はいくらか。
「k個のレーンにm個のビー玉を転がす」やりかたW(k)通りのうちには、
「レーン番号1～kにm個のビー玉を転がしたとき、レーン2番にはビー玉が通らず、他のどのレーンにも少なくとも1個のビー玉が通る」場合の数 ：Y(k-1)通り
だとか
「レーン番号1～kにm個のビー玉を転がしたとき、レーン2番と8番にはビー玉が通らず、他のレーンにも少なくとも1個のビー玉が通る」場合の数 ：Y(k-2)通り
などが含まれているので、これらを除外しなくてはなりません。

「k個のレーンにm個のビー玉を転がしたとき、ビー玉が一つも通らなかったレーンが丁度j個ある」場合の数をX(k,j)とします。
すると、どのレーンにビー玉が通らなかったか、の選び方が(kCj)通りあるのだから
X(k,j)=(kCj)Y(k-j)
です。ここにkCjとは「k個の中からj個を選ぶ組み合わせの数」kCj=(k!)/(j!)/((k-j)!)です。
だから
Y(k)=W(k)-X(k,1)-X(k,2)- … -X(k,k-1)
となります。

さて、ご質問の問題は
「n個のレーンにm個のビー玉を転がしたとき、少なくとも１個のビー玉が通ったレーンが丁度k個である確率」P (ただしn=m=15,k=8)
です。これを言い換えれば
「n個のレーンにm個のビー玉を転がしたとき、ビー玉が一つも通らなかったレーンが丁度(n-k)個ある確率」です。
「n個のレーンにm個のビー玉を転がす」場合の数はW(n)=(n^m)通り、
「k個のレーンにm個のビー玉を転がしたとき、ビー玉が一つも通らなかったレーンが丁度(n-k)個ある」場合の数は（前述したように）X(n,n-k)通りなので、答は
P=X(n,n-k)/W(n)
です。

n=m=15,k=8において具体的に計算してみると
P≒0.128
ほどになります。

お礼

回答をいただき、訂正・補足までお寄せいただきありがとうございます。噛み砕いて説明していただいたお陰でよく理解できました。

回答No.8

noname#6590

#5さんの確率は15個ビー玉が特定の8レーンの
すべてを通る確率になっているようなきがします
そうだとすると、これをつかって
（8／15）×（7／14）×...×（1／8）×（8／15）＾7×(15！/8!/7!)/15^15
にならないでしょうか？

回答No.7

p-p

＃２です

＃５さんが正解のようですね

私の回答だと　ランプが点くのが８個以下の確立ですね＾＾

回答No.6

noname#6590

ランプが1こつく確率
P[1]=C[15,1](1/15)^15
ランプが2こつく確率
P[2]=C[15,2](2/15)^15-C[15-1,1]P[1]
ランプが3こつく確率
P[3]=C[15,3](3/15)^15-C[15-2,1]P[2]-C[15-1,2]P[1]
ランプが4こつく確率
P[4]=C[15,4](4/15)^15-C[15-3,1]P[3]-C[15-2,2]P[2]-C[15-1,3]P[1]
・・・

のようにすれば、求められるとおもいます。

回答No.5

hyeon

15個のビー玉のうち8個は特定の8レーンを通過するので（8／15）×（7／14）×...×（1／8）
残りの7個はその8レーンのうちどこを通ってもいいので
（8／15）＾7
2つの積が求める確率になるのか、さらに8個と7個の順番まで場合分けをしなければいけないのか分かりません。

回答No.4

SteveStrawb

設問の前提が不明です。
ビー玉はかならずどこかのレーンを通る？
各レーンを通る確率は同一？
ランプは一度オンになると、そのままでオフにならない？

補足

説明不足で申し訳ありません。
ビー玉は必ずどれかひとつだけを通ります。
どのレーンも通る確率は同じです。
ランプは一度オンになると消えません。

回答No.3

H12GC8

全てのレーンにランプがあるのなら確立は０。
１５個転がした後に１５個ランプが付くから。
８個付く確立は存在しない。

同一レーンにランプが８個点灯するなら
（１／１５）＾１５＊８・・・

後半は自信なし

回答No.2

p-p

だまが８個所に集まるのですから

８/１５　の確立が　１５個だから

１５分の８の　１５乗ではないでしょうか？

回答No.1

neKo_deux

前提として、
・ビー玉が各レーンを通る確率はそれぞれ同じ1/15。
・同じレーンを通った場合、ランプはついたまま。
で良いのでしょうか？

補足

はい、その通りです。
説明が足らず申し訳ありません。